繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
第一p广义积分与第二p广义积分
第一 p p p 广义积分——无穷区间的敛散性
讨 论 : ∫ a + ∞ d x x p ( a > 0 ) 的 敛 散 性 解 答 : ( 1 ) p = 1 , ∫ a + ∞ d x x = ln x ∣ a + ∞ = ∞ ⇒ 发 散 ( 2 ) p ≠ 1 , ∫ a + ∞ d x x p = x 1 − p 1 − p ∣ a + ∞ ⇒ { p > 1 收 敛 p < 1 发 散 综 上 ， 对 于 积 分 ∫ a + ∞ 1 x p d x , p > 1 收 敛 , p ⩽ 1 发 散 \begin{aligned} & 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\ & 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p<1\ \ 发散\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\ \ , \ p>1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散 \end{aligned} 讨论:∫a+∞xpdx (a>0) 的敛散性解答: (1) p=1 , ∫a+∞xdx=lnx∣a+∞=∞⇒发散 (2) p=1 , ∫a+∞xpdx=1−px1−p∣∣∣∣a+∞⇒{
p>1 收敛 p<1 发散综上，对于积分∫a+∞xp1dx , p>1 收敛 , p⩽1 发散
第二 p p p 广义积分—— 无界函数的敛散性
讨 论 : ∫ a b 1 ( x − a ) p d x 的 敛 散 性 ( 1 ) p ⩽ 0 , 则 积 分 不 为 瑕 积 分 ， 为 定 积 分 ， 定 积 分 都 收 敛 。 ( 2 ) p > 0 , ① p = 1 , 则 ∫ 0 1 d x x − a = ln ( x − a ) ∣ 0 1 = ∞ ⇒ 发 散 ② p ≠ 1 , 则 ∫ 0 1 d x x p = ( x − a ) − p + 1 − p + 1 ∣ 0 1 ⇒ { p > 1 发 散 p < 1 收 敛 综 上 ， 对 于 积 分 ∫ a b 1 ( x − a ) p d x ， p < 1 时 收 敛 ， p > 1 时 发 散 。 特 别 地 ， 对 于 积 分 ∫ 0 1 1 x p d x ， p < 1 时 收 敛 ， p > 1 时 发 散 。 \begin{aligned} & 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p<1\ \ 收敛\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。\\ & 特别地，对于积分\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。 \end{aligned} 讨论:∫ab(x−a)p1dx 的敛散性 (1) p⩽0 , 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 (2) p>0 , ① p=1 , 则∫01x−adx=ln(x−a)∣01=∞⇒发散 ② p=1 , 则∫01xpdx=−p+1(x−a)−p+1∣∣∣∣01⇒{
p>1 发散 p<1 收敛综上，对于积分∫ab(x−a)p1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。特别地，对于积分∫01xp1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。
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