基于相关滤波的目标跟踪算法_粒子滤波目标跟踪算法优缺点

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相关跟踪的核心就是滤波器filters的求解，从MOSSE到KCF再到SRDCF，滤波器的模型越来越复杂，计算速度越来越慢，使得相关滤波在计算速度上的优势越来越不明显。比如较新的算法CFLB和BACF等采用了空间约束来解决边界效应，SRDCF和STRCF等使用空间正则来解决边界效应，这些解决边界效应的措施都让相关跟踪面临实时性的挑战。ADMM把一个大优化问题分成可分布式同时求解的多个子问题，通过对子问题的迭代可以快速得到滤波器的近似解。

baseline ADMM

ADMM求解以下形式的最小化问题：

基于相关滤波的目标跟踪算法_粒子滤波目标跟踪算法优缺点 $\\arg\min_{x,y}f(x)+g(y)\\s.t. Ax+By=c$

该式的拉格朗日表达式为：

${\cal L}(x,y,\varsigma )=f(x)+g(y)+\varsigma^T(Ax+By-c)+\frac{\mu }{2}\begin{Vmatrix} Ax+By-c \end{Vmatrix}_{2}^{2}$

迭代步骤为：

$x^{k+1}:=arg\min_{x}{\cal L}(x^k,y^k,\varsigma^k )$

$y^{k+1}:=arg\min_{y}{\cal L}(x^{k+1},y^k,\varsigma^k )$

$\varsigma^{k+1}:=\varsigma^k +\mu (Ax^{k+1}+By^{k+1}-c)$

example SRDCF

SRDCF原文用的是高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）求解器，高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）求解器也是一种迭代方法，缺点就是比ADMM要慢23333333。SRDCF最小化如下公式：

$arg\min_{f} \frac{1}{2}||\sum_{d=1}^{D}x_{t}^{d}\ast f^{d}-y||^{2}+\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{D}||wf^{d}||^{2}$

此处的为我们需要求的滤波器，也是ADMM迭代的变量之一，通过baseline的公式我们知道ADMM需要迭代两个变量，并且需要约束条件。变量不足可以构造一个辅助变量，没有约束条件我们设定约束条件 g=f ，所以：

$\\arg\min_{f} \frac{1}{2}||\sum_{d=1}^{D}x_{t}^{d}\ast f^{d}-y||^{2}+\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{D}||wg^{d}||^{2} \\s.t.g=f$

该式的拉格朗日表达式为：

$\\{\cal L}(f,g,\varsigma )=\frac{1}{2}||\sum_{d=1}^{D}x_{t}^{d}\ast f^{d}-y||^{2}+\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{D}||wg^{d}||^{2}+\varsigma^T\sum_{d=1}^{D}(f^d-g^d)+\frac{\mu }{2}\sum_{d=1}^{D}\begin{Vmatrix} f^d-g^d \end{Vmatrix}_{2}^{2}$

迭代步骤为：

$\\f^{k+1}:=\frac{1}{2}||\sum_{d=1}^{D}x_{t}^{d}\ast f^{d}-y||^{2}+\varsigma^T(f-g)+\frac{\mu }{2}\begin{Vmatrix} f-g \end{Vmatrix}_{2}^{2}$

$g^{k+1}:=\frac{1}{2}||wg||^{2}+\varsigma^T(f-g)+\frac{\mu }{2}\begin{Vmatrix} f-g \end{Vmatrix}_{2}^{2}$

$\varsigma^{k+1}:=\varsigma^k +\mu (f^{k+1}-g^{k+1})$

子问题的求解是不是很简单，哈哈哈哈。

子问题的求解：

转换到傅里叶域：

$\hat{f}=\frac{1}{2}||\hat{x}_{t} \hat{f}-\hat{y}||^{2}+\hat \varsigma^T(\hat{f}-\hat{g})+\frac{\mu }{2}\begin{Vmatrix} \hat{f}-\hat{g} \end{Vmatrix}_{2}^{2}$

其中， $\hat {x}_{t}$ , $\hat{f}$ 和 $\hat{g}$ 都是D维的。对 $\hat{f}$ 求导得：

$(\hat{x}_t\hat{f}-y)\hat{x}_t^{T}+\hat \varsigma^T\hat{f}+\mu(\hat{f}-\hat{g})=0$

$\hat{f}=\frac{y\hat{x}_t^{T}-\hat \varsigma^T+\mu \hat{g}}{\hat{x}_t\hat{x}_t^{T}+\mu I}$

子问题的求解：

没有涉及卷积不用转换到傅里叶域，直接对求导：

$w^Twg-\varsigma+\mu(g-f)=0$

$g=\frac{\varsigma+\mu f}{w^Tw+\mu}$

至此，SRDCF的ADMM迭代算法全部解完。

2019.04.15更新，下面给出SRDCFwithADMM的代码（注：本工程借鉴了ICCV2017目标跟踪算法BACF的相关代码）

1、代码下载地址：

SRDCFwithADMM_ADMM代码-机器学习代码类资源-CSDN下载

2、打开Demo更改数据集路径运行

基于相关滤波的目标跟踪算法_粒子滤波目标跟踪算法优缺点

3、运行结果：

基于相关滤波的目标跟踪算法_粒子滤波目标跟踪算法优缺点

4、run_SRDCFwithADMM.m中给出了OTB数据集的接口，可在OTB数据集中测试结果。

2019.05.17更新，终于把一个deadline赶完了，以前的SRDCF的ADMM迭代是简化版的，便于大家理解，现在给出详细推导过程（这个推导过程是参考文章BACF来的：求别又diss我抄袭了233333，做个博客而已，搞科研对抄袭这个词真心很敏感。。。）

承接上文：

$arg\min_{f} \frac{1}{2}||\sum_{d=1}^{D}x_{t}^{d}\ast f^{d}-y||^{2}+\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{D}||wf^{d}||^{2}$

构造辅助变量 $\hat g= \hat f=\sqrt L Ff$ ，这个 $\wedge$ 表示傅里叶变换， $\sqrt L Fa$ 是离散傅里叶变换的2D表达式，L是图像的大小。

那么拉格朗日表达式就变为：

$\\{\cal L}(f,\hat g,\hat \varsigma ) = \frac{1}{2}||\hat x\hat g - \hat y|{|^2} + \frac{1}{2}||wf|{|^2} + {\hat \varsigma ^T}(\hat g - \sqrt L Ff) + \frac{\mu }{2}||\hat g - \sqrt L Ff|{|^2}$

这里为了简化省略了D个通道的表达。

子问题g的求解：

转换到傅里叶域：

$\hat g = \frac{1}{2}||{\hat x_t}\hat g - \hat y|{|^2} + {\hat \varsigma ^T}(\hat g - \sqrt L Ff) + \frac{\mu }{2}||\hat g - \sqrt L Ff|{|^2}$

其中， $\hat {x}_{t}$ ,和 $\hat{g}$ 都是D维的。对 $\hat{g}$ 求导得：

$\hat{g}=\frac{y\hat{x}_t-L\hat \varsigma+\mu L\hat{f}}{\hat{x}_t\hat{x}_t^{T}+L\mu I}$

因为分母上是D维的，使用Sherman-Morrison formula加速运算得：

$\hat g = \frac{1}{\mu }\left( {L\hat y\hat x_t - \hat \varsigma + \mu \hat f} \right) - \frac{{\hat x}}{{\mu b}}\left( {L\hat y{{\hat S}_x} - {{\hat S}_\varsigma } + \mu {{\hat S}_f}} \right)$

这里的变量定义为 ${{\hat S}_x} = \hat x_t^T{{\hat x}_t},{{\hat S}_\varsigma } = \hat x_t^T\hat \varsigma ,{{\hat S}_f} = \hat x_t^T\hat f,b = {{\hat S}_x} + L\mu$ 。

子问题f的求解：

$f = \frac{1}{2}||wf|{|^2}+ {\hat \varsigma ^T}(\hat g - \sqrt L Ff) + \frac{\mu }{2}||\hat g - \sqrt L Ff|{|^2}$

f没有涉及卷积不用转换到傅里叶域，直接对f求导：

$f=\frac{\varsigma+\mu g}{w^Tw+\mu}$

至此，SRDCF的ADMM迭代算法全部解完。

代码简要解析：

%子问题g的求解
g_f = (((1/(T*mu)) * bsxfun(@times, yf, model_xf)) - ((1/mu) * l_f)  + h_f) - ...
            bsxfun(@rdivide,(((1/(T*mu)) * bsxfun(@times, model_xf, (S_xx .* yf))) ...
            - ((1/mu) * bsxfun(@times, model_xf, S_lx)) + (bsxfun(@times, model_xf, S_hx))), B);
        
%子问题f的求解
H_h=ifft2((mu*g_f) + l_f);
h = argmin_h(ww,mu,H_h);

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其中argmin_h.m定义为：

function h = argmin_h(w1,mu, X)
     lhd= 1 ./  ((w1.^2)+ mu); % left hand
     
     h=zeros(size(X));

     % compute T for each channel
     for i = 1:size(X,3)
         h(:,:,i) = lhd.* (X(:,:,i));
     end
end

[References]

[1] 博客参考：用ADMM求解大型机器学习问题 – BreezeDeus – 博客园
[2] S. Boyd. Alternating Direction Method of Multipliers (Slides).
[3] S. Boyd et al. Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers, 2010.

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