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$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\times\vec{d})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d})$$
证明：令
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$,$b=(b_1,b_2,b_3)$,$c=(c_1,c_2,c_3)$,$d=(d_1,d_2,d_3)$.则
$$(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\times\vec{d})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d}=\begin{vmatrix}
\vec{a}\cdot\vec{c}&\vec{a}\cdot\vec{d}\\
\vec{b}\cdot\vec{c}&\vec{b}\cdot\vec{d}\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3&a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3\\
b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3&b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3\\
\end{vmatrix}$$
而
$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
c_1&c_2&c_3\\
d_1&d_2&d_3\\
\end{vmatrix}
$$
一个个元素分析过来，显然，两者是相等的.拉格朗日恒等式得证.$\Box$
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