数据结构（廿三） — C语言版 — 图 – 图的存储结构 — 邻接表、逆邻接表

零、读前说明

• 本文中所有设计的代码均通过测试，并且在功能性方面均实现应有的功能。
• 设计的代码并非全部公开，部分无关紧要代码并没有贴出来。
• 如果你也对此感兴趣、也想测试源码的话，可以私聊我，非常欢迎一起探讨学习。
• 由于时间、水平、精力有限，文中难免会出现不准确、甚至错误的地方，也很欢迎大佬看见的话批评指正。
• 嘻嘻。。。。 。。。。。。。。收！
    
     这一篇因项目上线中间忙拖了很久了才发出来，虽说也不是很复杂的内容，但是在学习的过程总结还是有很缓慢的，不过万幸坚持做完了，累并快乐着！ 下一篇就不知道何年月能更新了（虽然看的人很少，但是还是要坚持做完），有事情回家一段时间，但愿所有事情能够顺利完成！！！
  
  

一、概 述

  在图中任何两个顶点之间都可能存在联系，所以图的存储结构应该需要根据具体问题的要求来进行设计。从图的逻辑结构定义来看，图中任何一个顶点都可以看成是第一个顶点。常用的存储结构有邻接矩阵、邻接表（逆邻接表）、十字链表、邻接多重表、 边集数组。那么本博文将带你就 “邻接表（逆邻接表）” 来窥探一二。。。

二、邻接表说明

  我们已经说明，对于稀疏图（边比较少的的图），邻接矩阵 占用空间大，空间浪费严重 。我们已经知道，使用链表形式可以明显的降低空间的浪费，那么是否可以将前面的数组形式的 邻接矩阵 用链表来表示呢。那么下面我们来看图的另外一种存储结构 — 邻接表 （Adjacency List） 。

  对于图中每个 顶点 $v_i$，将所有与 $v_i$ 邻接的 顶点 连成一个 单链表，称为顶点 $v_i$ 的 边表（对于有向图则分别称为 出边表，反之为 入边表）。

  也就是说：

  1、将图中 所有的顶点 用一个数组来存储（也可以使用单链表存储，但数组容易读取顶点信息， vertex ），同时还需要保存指向此顶点的第一个邻接点信息的指针（ firstEdge ），方便查找邻接点的信息；
  2、图中每一个顶点 $v_i$ 的所有邻接点组成一个 线性表，由于邻接点的个数不确定，所以选择用单链表来存储；
  像这样把 数组 与 链表 相结合的存储方式成为 邻接表。

  邻接表 有两种结构：顶点表节点 和 边表节点

  顶点表节点主要用于表示顶点的信息，主要需要记录顶点的信息、指向此顶点的顶一个邻接点的指针，同样可以添加其他需要的元素，比如节点的个数等。

  边表节点主要用于表示顶点的邻接点，以及下一个邻接点。当然同样可以添加其他的需要的元素，比如边的权值等。

  本博文中所使用的边表结构和顶点表结构如下图所示。

2.1、无向图的邻接表

  首先创造一个数组用来保存顶点的信息，以及一个指针指向顶点的第一个邻接点的指针，那么这个 first 指针域则成为了边表的头指针了。

  边表中的节点：表示的是节点在数组中的下标

  对于边 $(v_0,v_1)$ 在邻接表中，可以理解为：顶点表中的第 0 个顶点（$v_0$）到第 1 个顶点（$v_1$）有一条边。

  无向图邻接表如下图所示。

  顶点的度：与顶点 $v_i$ 连接的边的个数，也就是在 firstEdge 链表的节点的个数。

  如何去判断两个顶点 i, j 是否存在边：测试顶点 i 的边表中是否存在终点为 j 的节点。

2.2、有向图的邻接表

  有向图的邻接表是将顶点当作弧尾（默认是以弧尾）建立的邻接表，这样很容易的得到每个顶点的出度：顶点 i 的出边表的节点的个数。

  但是求入度则变得困难：依次查找各个顶点的出边表中以顶点 $v_i$ 为终点的节点的个数，所以需要将所有顶点及其边表扫描一遍。

  顶点 $v_i$ 的所有的邻接点：该边表中所有顶点都是顶点 $v_i$ 的邻接点。

  有向图邻接表如下图所示。

2.3、代码实现

2.3.1、数据类型及操作函数定义

  一、数据类型定义

  根据图的定义，定义图的数据结构类型中，需要包含两个重要的信息，一为 顶点的集合，二为 边的集合，本测试中加入一个 顶点的个数 的元素。测试代码中定义图的数据结构如下所示。

typedef void LGraph; typedef void LVertex; typedef struct _tag_LGraph { 
    int count; // 顶点的个数 LVertex **vertex; // 顶点的信息 LinkList **first; // 边集 } TLGraph; typedef struct _tag_ListNode { 
    LinkListNode next; //指向下一个边的指针 int adjvex; // 边的另一个顶点的下标 int weight; // 权值 } TListNode; 

  二、图的操作函数定义

  图的操作，本博文中主要涉及三部分，创建销毁等操作、边的集合的操作、顶点的集合的操作。为了方便后续的添加其他的操作等，定义如下面代码所示。

#define UNDIRECTED_GRAPH 0 // 无向图定义 #define DIRECTED_GRAPH !UNDIRECTED_GRAPH // 有向图定义 /* * 边的操作集合 / typedef struct __func_Edge { 
    int (*add)(LGraph *, int, int, int, int); int (*remove)(LGraph *, int, int, int); int (*get)(LGraph *, int, int); int (*count)(LGraph *, int); } funcEdge; /* * 顶点的操作集合 / typedef struct __func_vertex { 
    int (*dgree)(LGraph *, int, int); int (*count)(LGraph *); } funcVertex; /* * 图的操作集合 / typedef struct __func_Graph { 
    LGraph *(*create)(LVertex **, int); void (*destroy)(LGraph *); void (*clear)(LGraph *); void (*display)(LGraph *, int); funcEdge edge; // 边的集合 funcVertex vertex; //顶点的集合 } funcGraph; extern funcGraph funGraph; 

2.3.2、主要操作函数的代码实现

  图的操作主要实现代码，方便起见，文件名称类型为 .cpp ，注释比较详细，此处不在赘述，代码如下所示。

/ * 功 能： * 创建并返回有n个顶点的图 * 参 数： * v：与顶点相关的数据的指针 * n：顶点的个数 * 返回值： * 成功： * 失败：NULL / LGraph *LGraph_Create(LVertex **v, int n) // O(n) { 
    TLGraph *ret = NULL; if ((v == NULL) || (n < 1)) goto END; // 申请一个图结构内存 ret = (TLGraph *)malloc(sizeof(TLGraph)); if (ret == NULL) goto END; ret->count = n; // 图的节点个数赋值 ret->vertex = (LVertex **)calloc(n, sizeof(LVertex *)); // 申请节点的空间 ret->first = (LinkList **)calloc(n, sizeof(LinkList *)); // 申请节点的邻接表的内存 if ((ret->vertex == NULL) || (ret->first == NULL)) { 
    free(ret); free(ret->vertex); free(ret->first); ret = NULL; goto END; } // 顶点赋值 for (int i = 0; i < n; i++) { 
    ret->vertex[i] = v[i]; } // 边集创建并赋值 for (int i = 0; (i < n); i++) { 
    // 创建链表 ret->first[i] = funLinkList.create(); if (ret->first[i] == NULL) // 创建失败 { 
    for (int j = 0; j < i; j++) { 
    funLinkList.destory(ret->first[j]); // 销毁链表 } // 内存释放 free(ret->first); free(ret->vertex); free(ret); ret = NULL; // 返回值重定向 break; } } END: return ret; } / * 功 能： * 添加顶点与顶点的关系 - 边 * 在graph所指图中的v1和v2之间加上边，且边的权为w * 参 数： * graph：要操作的图 * v1 ：顶点（尾）的编号（位置） * v2 ：顶点（头）的编号（位置） * w ：权值，如果为0，表示边不存在 * flag ：表示是无向图还是有向图，如果为非0，表示为有向图 * 返回值： * 0 ：添加成功 * -1：添加失败，参数异常 / int LGraph_AddEdge(LGraph *graph, int v1, int v2, int w, int flag) // O(1) { 
    TLGraph *tGraph = (TLGraph *)graph; TListNode *node = NULL, *node1 = NULL; int ret = -1; if (graph == NULL || w < 0 || // w即可表示存在边（=1）也可表示边的权值（>=1），在表示边的权值的时候，一定是边存在（>0） ((v1 < 0) && (v1 >= tGraph->count)) || ((v2 < 0) && (v2 >= tGraph->count))) goto RET; node = (TListNode *)malloc(sizeof(TListNode)); if (node == NULL) goto RET; node->adjvex = v2; node->weight = w; funLinkList.insert(tGraph->first[v1], (LinkListNode *)node, funLinkList.length(tGraph->first[v1])); // 采用尾插入，方便在打印的时候比较 if (!flag) // 如果是无向边，则再进行一次反向插入 { 
    node1 = (TListNode *)malloc(sizeof(TListNode)); if (node == NULL) goto RET; node1->adjvex = v1; node1->weight = w; funLinkList.insert(tGraph->first[v2], (LinkListNode *)node1, funLinkList.length(tGraph->first[v2])); // 采用尾插入，方便在打印的时候比较 } ret = 0; RET: return ret; } / * 功 能： * 将graph所指图中v1和v2之间的边删除，返回权值 * 参 数： * graph：要操作的图 * v1 ：顶点（尾）的位置（编号） * v2 ：顶点（头）的位置（编号） * flag ：表示是无向图还是有向图，如果为非0，表示为有向图 * 返回值： * 删除成功 ：非0值 -- 权值 * 删除失败：0 / int LGraph_RemoveEdge(LGraph *graph, int v1, int v2, int falg) // O(n*n) { 
    TLGraph *tGraph = (TLGraph *)graph; int ret = 0; TListNode *node = NULL; if ((tGraph == NULL) || ((v1 < 0) && (v1 >= tGraph->count)) || ((v2 < 0) && (v2 >= tGraph->count))) goto RET; for (int i = 0; i < funLinkList.length(tGraph->first[v1]); i++) { 
    node = (TListNode *)funLinkList.get(tGraph->first[v1], i); if (node->adjvex == v2) { 
    ret = node->weight; funLinkList.delet(tGraph->first[v1], i); break; } } if (!falg) // 如果是无线图的话，则删除反向的边 { 
    for (int i = 0; i < funLinkList.length(tGraph->first[v2]); i++) { 
    node = (TListNode *)funLinkList.get(tGraph->first[v2], i); if (node->adjvex == v1) { 
    funLinkList.delet(tGraph->first[v2], i); break; } } } free(node); RET: return ret; } / * 功 能： * 将graph所指图中v1和v2之间的边的权值返回 * 参 数： * graph：要操作的图 * v1 ：顶点（尾）的位置（编号） * v2 ：顶点（头）的位置（编号） * 返回值： * 0 ：边 不存在 * -1 ：参数异常 * 其他：边存在或者权值 / int LGraph_GetEdge(LGraph *graph, int v1, int v2) // O(n*n) { 
    TLGraph *tGraph = (TLGraph *)graph; int ret = -1; TListNode *node = NULL; if ((tGraph == NULL) || ((v1 < 0) && (v1 >= tGraph->count)) || ((v2 < 0) && (v2 >= tGraph->count))) goto RET; for (int i = 0; i < funLinkList.length(tGraph->first[v1]); i++) { 
    node = (TListNode *)funLinkList.get(tGraph->first[v1], i); if (node->adjvex == v2) { 
    ret = node->weight; break; } else ret = 0; } RET: return ret; } / * 功 能： * graph所指图中v顶点的度数 * 参 数： * graph：要操作的图 * v ：顶点 的位置（编号） * flag ：表示是无向图还是有向图，如果为非0，表示为有向图 * 返回值： * 0 ：参数异常 * 其他：顶点的度 / int LGraph_VertexDgree(LGraph *graph, int v, int flag) // O(n*n*n) { 
    TLGraph *tGraph = (TLGraph *)graph; int ret = 0; if ((tGraph == NULL) || ((v < 0) && (v >= tGraph->count))) goto RET; / * 对于有向图 ，顶点的度为出度加上入度 * 出度 ：等于邻接链表的长度 * 入度 ：其他的在邻接链表中存在此节点的每一个顶点 * 对于无线图，顶点的度等于邻接链表的长度 / // 此节点的邻接链表的长度 ret += funLinkList.length(tGraph->first[v]); if (flag) // 如果是有向图，则需要判断其他顶点与此顶点的关系 { 
    // 遍历图中的每一个顶点 for (int i = 0; i < tGraph->count; i++) { 
    // 遍历顶点的邻接链表 for (int j = 0; j < funLinkList.length(tGraph->first[i]); j++) { 
    TListNode *node = (TListNode *)funLinkList.get(tGraph->first[i], j); if (node->adjvex == v) // 如果邻接链表中存在此节点 ret++; } } } RET: return ret; } funcGraph funGraph = { 
    LGraph_Create, LGraph_Destroy, LGraph_Clear, LGraph_Display_matrix, { 
    LGraph_AddEdge, LGraph_RemoveEdge, LGraph_GetEdge, LGraph_EdgeCount, }, { 
    LGraph_VertexDgree, LGraph_VertexCount, }}; 

2.3.3、测试案例的实现源码

  主要进行相关代码的测试，方便起见，测试案例的名称为 main.cpp ，注释比较详细，此处不在赘述说明，代码如下所示。

#include "../src/graph/graph.h" #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main(int argc, char *argv[]) { 
    system("color "); // 颜色设置，用于在windows下终端显示的时候不明原因换行的问题 printf("\n\e[1;31mLet's start with an example of an undirected graph:\e[0m\n"); LVertex const *v[] = { 
   "A", "B", "C", "D", "E", "F"}; LGraph *ungraph = funGraph.create((LVertex **)v, 6); // 添加边 funGraph.edge.add(ungraph, 0, 1, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, B) funGraph.edge.add(ungraph, 0, 2, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, C) funGraph.edge.add(ungraph, 0, 3, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, D) funGraph.edge.add(ungraph, 1, 4, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (B, E) funGraph.edge.add(ungraph, 1, 5, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (B, F) funGraph.edge.add(ungraph, 2, 1, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (C, B) funGraph.edge.add(ungraph, 3, 4, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (D, E) // 顶点的个数 printf("\nThe number of vertices in the graph is : %d\n", funGraph.vertex.count(ungraph)); // 显示邻接表 printf("\nThe Adjacency List of the graph is :\n"); funGraph.display(ungraph, 1); // 边的个数 printf("\nThe number of Edge in the graph is : %d\n", funGraph.edge.count(ungraph, UNDIRECTED_GRAPH)); // 顶点的度，参数为顶点在数组的下标 printf("\nThe Degree of vertex 'B' is : %d\n", funGraph.vertex.dgree(ungraph, 1, UNDIRECTED_GRAPH)); // 添加边，带有权值 funGraph.edge.add(ungraph, 4, 2, 9, UNDIRECTED_GRAPH); // (E, C) 9 // 边的权值 printf("\nThe Weight of Edge (E, C) is : %d\n", funGraph.edge.get(ungraph, 4, 2)); printf("\nThe Adjacency List of the graph is :\n"); funGraph.display(ungraph, 0); // 添加边，带有权值 （E, C) funGraph.edge.remove(ungraph, 4, 2, 0); // 显示邻接表 printf("\nThe Adjacency List of the graph is :\n"); funGraph.display(ungraph, 0); // 边的个数 printf("\nThe number of Edge in the graph is : %d\n", funGraph.edge.count(ungraph, UNDIRECTED_GRAPH)); // 顶点的度，参数为顶点在数组的下标 printf("\nThe Degree of vertex 'B' is : %d\n", funGraph.vertex.dgree(ungraph, 1, UNDIRECTED_GRAPH)); // fixed 2020.08.29 : 原本测试时（下图中显示效果）写的是“undirected”，为错误的，现已经改正！ printf("\n\e[1;31mLet's start with an example of directed graph:\e[0m\n"); LGraph *graph = funGraph.create((LVertex **)v, 6); // 添加边 funGraph.edge.add(graph, 0, 1, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, B> funGraph.edge.add(graph, 0, 2, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, C> funGraph.edge.add(graph, 0, 3, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, D> funGraph.edge.add(graph, 1, 4, 1, DIRECTED_GRAPH); // <B, E> funGraph.edge.add(graph, 1, 5, 1, DIRECTED_GRAPH); // <B, F> funGraph.edge.add(graph, 2, 1, 1, DIRECTED_GRAPH); // <C, B> funGraph.edge.add(graph, 3, 4, 8, DIRECTED_GRAPH); // <D, E> // 显示邻接表 printf("\nThe Adjacency List of the graph is :\n"); funGraph.display(graph, 0); // 边的个数 printf("\nThe number of Edge in the graph is : %d\n", funGraph.edge.count(graph, DIRECTED_GRAPH)); // 顶点的度，参数为顶点在数组的下标 printf("\nThe Degree of vertex 'B' is : %d\n", funGraph.vertex.dgree(graph, 1, DIRECTED_GRAPH)); // 权值 printf("\nThe Weight of Edge <D, E> is : %d\n", funGraph.edge.get(graph, 3, 4)); funGraph.destroy(ungraph); funGraph.destroy(graph); printf("\n\e[1;32msystem exited with return code %d\e[0m\n\n", 0); return 0; } 

  方便后续的测试与对照，上面测试案例中创建的图的显示效果如下图所示。

2.4、测试效果

  本次测试是在 windows 环境下进行，也可以在 linux 环境下操作，详细说明在README.md中查看。

  使用 Cmake 编译，使用下面指令：

mkdir build ; cd build 在windows下使用 ： cmake -G "MinGW Makefiles" .. # 注意 .. ,表示上级目录 在linux下使用 ： cmake -G "Unix Makefiles" .. # 注意 .. ,表示上级目录 在linux下也可以使用 ： cmake .. # 注意 .. ,表示上级目录 make 

  经过cmake编译之后，可以使用在当前目录下使用指令 ./../runtime/graph来运行可执行程序，也可以进入到目录runtime中，然后使用指令 ./graph ，即可运行测试程序。实际测试的结果如下图所示。

三、逆邻接表

  一、逆邻接表

  逆邻接表指的是将顶点当弧头建立的邻接表，这样便于得到每个顶点的 入度 或者以此顶点为弧头的弧。

  有向图邻接表如下图所示。

  二、带权值的图（网）

  前面已经提到了，对于带有权值的边，只需要在边表节点的定义在增加一个数据域来存储权值即可。

  带权值的图如下图所示。

四、简单对比总结

   比较邻接矩阵、邻接点表的有确定，如下表所示。

  好啦，废话不多说，总结写作不易，如果你喜欢这篇文章或者对你有用，请动动你发财的小手手帮忙点个赞，当然 关注一波 那就更好了，好啦，就到这儿了，么么哒(* ￣3)(ε￣ *)。