马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、柯西-施瓦茨不等式

全栈程序员-站长 • 2026年1月30日下午3:15 • 未分类 • 阅读 1

马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、柯西-施瓦茨不等式一马尔可夫不等式马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限对于非负随机变量 X a gt 0 有证明原式可化为注意到因为 X 非负右边二切比雪夫不等式切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限证明记右边注意到在中因此有三柯西施瓦茨不等式

一、马尔可夫不等式（Markov）

马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限

对于非负随机变量X，a >= 0，有 $P(X\geq a)\leq \frac{EX}{a}$

证明：原式可化为

$\int_{a}^{\infty}f(x)dx\leq \int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx$

注意到，因为 X 非负，右边 $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}f(x)dx=P(X\geq a)$

二、切比雪夫不等式（Chebyshev）

切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限

$P(|X-EX|\geq \varepsilon )\leq \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$

证明：记 $\Phi =\{|x-EX|\geq \varepsilon \}$

$\int_{\Phi}^{ }f(x)dx\leq \frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}$

右边 $\frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2$

注意到，在 $\Phi$ 中， $(x-EX)^2\geq \varepsilon ^2$ ，因此有

$\int_{{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{{\Phi}^{ }}f(x)dx$

三、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）

柯西-施瓦茨不等式描述的是协方差与方差之间的不等关系

$Cov(X,Y)^2\leq \sigma _{X}^2\sigma _{Y}^2$

证明：上式可化为 $E^2(X-EX)(Y-EY)\leq E(X-EX)^2E(Y-EY)^2$

可以看到组成部分只有 2 个： X-EX 与 Y-EY

因此构造函数 f(t)=E[t(X-EX)+(Y-EY)]^2

=E[(X-EX)^2t^2+2(X-EX)(Y-EY)t+(Y-EY)^2]

显然有 $f(t)\leq 0$ ，所以上述二次函数 $\Delta =4E^2(X-EX)(Y-EY)-4E(X-EX)^2E(Y-EY)^2\leq 0$

即柯西-施瓦茨不等式

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