哥德尔定理证明中的标号（11）-（16）——哥德尔读后之26

哥德尔定理证明中的标号（11）-（16）——哥德尔读后之26

一、标号（9）与（10）解读回顾

provablec(subst(q,(17,19,number(x),number(y))

((proofFormulac(x,subst(y,19,number(y)))→
(provablec(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))
标号（10）

(provablec(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))

二、哥德尔设定的p和r——标号（11）和（12）

p =forall(17,q) 标号为（11）

这样一个标号（11）所提到的类符号，哥德尔原著英译本中早有交代，原著文本用园括弧内文字简单说明这个小写字母p。

（p是一个带有自由变元19的类符号（CLASS SIGN））

【这个类符号p直观上意味着19(19)，也就是y(y)是不可证的。】

一个带有n个自由变元（且没有其它自由变元）的公式，我们称之为n元关系符号，而当n=1的时候，这个n元关系符号，也称之为类符号（CLASS SIGN）。

自由变元17中的每一个客体对象全都具有q关系。

那么，问题就出来了，哥德尔为什么要在注释中解释这个类符号p，它不是带有自由变元17，而是带有自由变元19呢？哥德尔原著的两个英译本，都是这样来注释这个标号（11）中的设定p的。这一点疑惑，我们暂且搁置，希望在解读标号（12）之后，能够有一个合适的答案。因为随后的标号（12），也会产生同样的疑惑。

r = subst(q, 19, number§) （12）

（r是一个原始递归的类符号，带有自由变元17）

随后，有原著译者为注释所做的注释，用方括号给出。

【它在直观地意味着17，也就是x并未证明p§，这个p§意味着p§不可证】

这个r实际上是被导出的，它从递归关系符号q，用一个确定的数字number§代入一个变元而形成一个导出的公式。（哥德尔原著1962译本注释47）

那么，和标号17同样的问题就出来了，在标号（11）中哥德尔为什么要在注释中解释这个类符号p，它不是带有自由变元17，而是带有自由变元19呢？而在标号（12）中，哥德尔又为什么要在注释中解释这个类符号r，它不是带有自由变元19，而是带有自由变元17呢？这好像到现在还是一个疑惑，依然只能是留待观察思考。我们还是继续前行，对这个标号（12）做一些解释说明。

标号（12）

r = subst(q, 19, number§) （12）

p =forall(17,q) 标号为（11）
r = subst(q, 19, number§) 标号为（12）

三、标号（13）到标号（16）

这个连续等式标号（13），素数17和19分别表示第1类符号，即类符号的哥德尔数。我们先看等式的左式：

subst(p,19,number§) 标号（13左式）

按哥德尔的符号约定，将标号（11）所界定的类符号p的数字表示number§代入到变元19，也就是y中，这就形成了类如p§的公式。这个类如p§公式的第一个等式是：

subst(forall(17,q),19,number§) 标号为（13-1）

forall(17,subst(q,19,number§)) 标号为（13-2）

而第三个等式（13-3）也属显然，因为有标号（12）

r = subst(q, 19, number§)，

我们等值代入（13-2），自然地获得（13-3）

forall(17,r) 标号为（13-3）

依据标号（11）和（12），我们继续前行，进入到了标号（14）和（15）。

subst(q,17 19,number(x)number§)=subst(r,17,number(x)) 标号为（14）

这个等式的左式，是把number(x)代入到q中自由变元17，即x中；把number§代入到19，q中自由变元y中，由此而形成一个二元关系表达式。这个表达式与标号（14）中的右式是相等的，因为标号（12）中的r = subst(q, 19, number§)，自然就有标号（14）的成立。

把标号（9）中y代入p，结合标号（13）的等式，标号（15）蕴涵式就成为：

((proofFormulac(x,forall(17,r))→(provablec(subst(r,17,number(x))) 标号（15）

((proofFormulac(x,subst(y,19,number(y)))→
(provablec(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))
标号（10）

把标号（10）中y代入p，结合标号（14）的等式，标号（16）蕴涵式就成为：

((proofFormulac(x,forall(17,r))→(provablec(not(subst(r,17,number(x))))) 标号（16）

四、哥德尔第一不完全性定理得证

由上述标号，出现以下两种结论：

（一）forall(17,r)不是c可证，

因为，如果它可证，依据标号（6.1），就存在一个n使得

proofFormulac(n,forall(17,r))。

但依据标号（16），又有以下结果：

(provablec(not(subst(r,17,number(n)))

与此同时，另一个方面，从forall(17,r)是c可证，则会导致((subst(r,17,number(n))也是可证，这样c将会是不一致的（特别是不一致）。

（二）not(forall(17,r))不是c可证

以上（一）已经证明，forall(17,r)不是c可证，那就是说，依据标号（7），以下公式成立：

n(proofFormulac(n,forall(17,r))

在（一）中出现的不可证结果，再加上标号（15），我们又获得以下公式的成立

n(provablec(subst(r,17,number(n)))

这个公式的成立和以下公式的成立，合在一起，自然违反了c的一致，

provablec(not(forall(17,r)))

因此，(forall(17,r))在c中是不可判定的，命题6得到证明。

五、知之为知之 不知为不知

终于把哥德尔第一不完全性定理证明的全过程，做了一次步履艰难的旅行，一路受卡受阻地走到今天，深感求学求知之不易。为弄懂哥德尔而草做的那些学习博客，似乎到处都是你似懂非懂的印记。这让我想到康先生翻译的《哥德尔》一书，他在文尾写的译后散记，最后一段谈他的哥德尔翻译与研究的感叹：

对于我，翻译哥德尔或讲哥德尔的作品实在是一项新而且难的工作，必须从头摸索。让这个译本只作个开端吧。（王浩著《哥德尔》弟449页）