matlab贝塞尔函数特征值,第十一章 贝塞尔函数

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1、第十一章 柱函数,10.1 柱函数,一、柱坐标下的分离变量法,一、柱坐标下的分离变量法,一、柱坐标下的分离变量法,二、柱函数,1、分类,二、柱函数,二、柱函数,计算指令 所计算的函数 J=besselj(,z) 计算阶第一类贝塞尔函数 的值 N=bessely(,z) 计算阶第二类贝塞尔函数 的值 H=besselh(,k,z) 计算阶第一类汉开尔函数(k=1) 的值或阶第二类汉开尔函数(k=2) 的值 I=besseli(,z) 计算阶第一类虚宗量贝塞尔函数 的值 K=besselk(,z) 计算阶第二类虚宗量贝塞尔函数 的值,MATLAB有5种计算贝塞尔函数的指令,2、性质,1)图形和特殊。

2、值,二、柱函数,Fig1d20.m clear all close all y=besselj(0:3,(0:0.2:10); figure(1) plot(0:0.2:10),y(:,1),b-,(0:0.2:10),y(:,2),b-*,. (0:0.2:10),y(:,3),r-.,(0:0.2:10),y(:,4),r-o) xlabel(fontsize20 x) ylabel(fontsize20J_nu(x) title(fontsize20贝塞尔函数J_0,1,2,3的图形) legend(J_0,J_1,J_2,J_3,二、柱函数,二、柱函数,二、柱函数, Fig1d21.m。

3、 y=bessely(0:1,(0:0.2:10); plot(0:0.2:10),y(:,1),b-,(0:0.2:10),y(:,2),r-*) grid on text(1.8,0.6,N_0) text(4.7,0.3,N_1) title(fontsize20诺伊曼函数N_0,1的图形) xlabel(fontsize20 x) ylabel(fontsize20N_m(x,二、柱函数,2)生成函数,二、柱函数,证明,二、柱函数,Fig2d8.m clear all close all clc m=30; r=(0.3*m:m)/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*e。

4、xp(i*theta); z(find(z=0)=NaN; subplot(121) cplxmap(z,exp(z-1./z) %x=2 xlabel(fontsize20 x,二、柱函数,ylabel(fontsize20y) zlabel(fontsize20u) title(fontsize20贝塞尔函数的母函数等式左边的图形) view(34,44) w=0; for k=-20:20 u=besselj(k,2).*z.k; %x=2 w=w+u; end subplot(122) cplxmap(z,w) xlabel(fontsize20 x,二、柱函数,ylabel(font。

5、size20y) zlabel(fontsize20u) title(fontsize20贝塞尔函数的母函数等式右边的图形) view(34,44,function cplxmap(z,w,B) %z,w,B分别是自变量，函数值和函数值的作图范围 blue=0.2; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w,二、柱函数,如果输入变量数大于两个，即指定了函数值的范围，就将不需要的函数值去掉. if nargin2 %指令nargin是输入的变量数目 k=find(abs(w)B)|isnan(abs(w); %找出绝对值大于B或者为非数的函数值的元素足标。

6、. if length(k)0 %如果存在这样的元素，就要作如下处理. u(k)=B*sign(u(k); %将范围以外的函数值实部都设为B v(k)=zeros(size(k); %将范围以外的函数值虚部都设为0 v=v/max(max(abs(v); %函数值虚部归一化 v(k)=NaN*ones(size(k); %设为非数就可以不对它们作图 end end,二、柱函数,M=max(u(:); m=min(u(:); axis(min(x(:) max(x(:) min(y(:) max(y(:) m M) caxis(-1 1) %指定颜色值的范围 s=ones(size(z); me。

7、sh(x,y,m*s,blue*s) %画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %画表面图 hold off colormap(hsv(64) %画色轴,二、柱函数,3)路径积分表示式,二、柱函数,证明,二、柱函数,二、柱函数,4)递推公式,二、柱函数,证明: (1,二、柱函数,2,二、柱函数,二、柱函数,推论,证明,二、柱函数,例题:计算定积分,解,二、柱函数,例题:计算定积分,解,二、柱函数,二、柱函数,二、柱函数,证明,5)正交关系,二、柱函数,二、柱函数,两边同时对求积分,二、柱函数,二、柱函数,二、柱函数,二、柱函数,例题：半径为a的无限长导热介质圆柱，其侧面保持为零度。

8、。设初始温度为u0(常量)，求柱体内温度的变化,解,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,例题：半径为a，高为2L的导体圆柱，其电导率为、电流为I的稳恒电流从上底面垂直流进而从下底面垂直流出，设电流流进和流出的面是圆心位于圆柱轴线上、半径为b(ba)的圆域，而且电流均匀分布在此圆域内，求柱体内的电势分布,分析,三、应用,三、应用,解,定解问题为,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,例题：匀质圆柱，半径为0,高L，柱侧绝热，上下底面温度分布分别保持为f2()和f1()，求解柱内的稳定温度分布,解,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、。

9、应用,三、应用,三、应用,11.2 虚宗量贝塞尔方程,一、虚宗量贝塞尔函数,一、虚宗量贝塞尔函数,一、虚宗量贝塞尔函数,源程序： x=(0.05:0.01:3); I=besseli(0:1,x); subplot(121) plot(x,I(:,1),b-,x,I(:,2),b-) text(2,2.6,I_0) text(2.3,1.7,I_1) xlabel(x) ylabel(I_m(x) title(第一类虚宗量贝塞尔函数I_0,1) K=besselk(0:1,x); subplot(122) plot(x,K(:,1),k-,x,K(:,2),k,一、虚宗量贝塞尔函数,text(。

10、0.2,2.1,K_0) text(0.2,7,K_1) xlabel(x) ylabel(K_m(x) title(第二类虚宗量贝塞尔函数K_0,1,一、虚宗量贝塞尔函数,一、虚宗量贝塞尔函数,例题：半径为a、高为h的导热介质圆柱，其侧面有面积热流量为q0的恒定热流垂直流入，上下两底保持恒温u0,求柱体内的稳定温度分布,解,二、应用,二、应用,二、应用,二、应用,二、应用,二、应用,11.3 球贝塞尔方程,一、球贝塞尔函数,亥姆霍兹方程,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,一、球贝塞尔函数,例题：绘制前。

11、四个球贝塞尔函数的曲线。 解： %Fig1d24.m x=eps:0.2:15; %由于在x=0处函数值是0/0，所以作图不是从原点出发,y1=sqrt(pi/2./x).*besselj(1/2,x); y2=sqrt(pi/2./x).*besselj(3/2,x); y3=sqrt(pi/2./x).*besselj(5/2,x); y4=sqrt(pi/2./x).*besselj(7/2,x); plot(x,y1,b-,x,y2,b-,x,y3,b-.d,x,y4,b-*) grid on text(1.3,0.8,j_0) text(2.7,0.43,j_1) text(4.2,。

12、0.3,j_2) text(5.6,0.23,j_3) xlabel(x) ylabel(j_l(x) title(球贝塞尔函数j_0,1,2,3的图形) set(gca,xtick,0:15,一、球贝塞尔函数,例题：绘制前四个球诺伊曼函数的曲线。 解： %Fig1d25.m x=0.4:0.2:15; y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x); y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x); y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x); y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x); plot(x,y1,b。

13、-,x,y2,b-,x,y3,b-.d,x,y4,b-*) grid on text(2.5,0.4,n_0) text(4.3,0.3,n_1,一、球贝塞尔函数,text(5.5,0.3,n_2) text(7.5,0.2,n_3) xlabel(x) ylabel(n_l(x) title(球诺伊曼函数n_0,1,2,3的图形) set(gca,xtick,0:10) axis(0 10 -2 0.6,一、球贝塞尔函数,二、本征值问题,可以证明如下的正交关系,二、本征值问题,二、本征值问题,二、本征值问题,二、本征值问题,二、本征值问题,二、本征值问题,二、本征值问题,三、应用,例题：半径为a的均匀导热介质球，原来的温度为u0(常量)。将它放入冰水中，使球面温度保持为 。求球内温度的变化,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用,三、应用。