协方差的定义
对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。
计算方法
Σ i j = （ 第 i 列 的 所 有 元 素 − 第 i 列 的 均 值 ） ∗ （ 第 j 列 的 所 有 元 素 − 第 j 列 的 均 值 ） \Sigma_{ij}=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值） Σij=（第i列的所有元素−第i列的均值）∗（第j列的所有元素−第j列的均值）
Σ = ( 8.75 − 1 − 1 12 ) \Sigma=\bigl( \begin{matrix} 8.75 & -1 \\ -1 & 12 \end{matrix} \bigr) Σ=(8.75−1−112)
用matlab计算这个例子
z=[1,2;3,6;4,2;5,2]
cov(z)
可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：
Σ i j \Sigma_{ij} Σij=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）
与matlab计算验证
Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4] cov(Z) ans = 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.3333 0.6667 -1.0000 -1.0000 0.6667 1.3333 R语言中的计算结果
是与matlab的结算结果相同的，验证程序如下：
> c1=matrix(c(1,2,3,4, 3,4,1,2, 2,3,1,4),nrow = 3,byrow = T) > cov(c1) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 1 -1.0000000 -1.0000000 [2,] 1 1 -1.0000000 -1.0000000 [3,] -1 -1 1. 0. [4,] -1 -1 0. 1. 可知该计算方法是正确的。我们还可以看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码，非常简洁易懂，在此感谢一下!
参考：
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix
[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html
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