【实例简介】
含matlab程序，个人感觉很有帮助，在研究传热学的可以下来看看
能呈守恒定律:
因为内部无热源,净流入的热量应该等于介质在此时
间内温度升高所需要的热量。
cdmdu=dQ=[q(x, t)g(x+ dx, t)]dt
g(x, t)dxdt
∵ comdt= cpdd∴ perdu=-q,dxdt
cpm=-9,即cPm2=-9(2)
q(x, t) q(x+dx, t)
xxIx
X
:-k
COL
由(1)、(2)得cp2=-q2=ku
,其中
cp
介质内存在热源时
如果在介质内有热量产生(例如,有化学反应发生,
或者通有电流,…),单位时间内单位体积介质产生
的热量为F(x,t)
因为热传导的Foue定律没有变化,所以仍然有
q=-k
对于能量守恒定律,有
du
(x.tddt+ Fdxdt即
qx +F
.u,=a’u+–F=a’u+f(x,t)
实验原理
分离变量法实验原理
有界长杆的热传导问题
、考察齐次热传导方程的混合问题(边界条
件都是第一类的情形)
u(00)
a(0,t)=0,a(l,t)=0
(x0)=g(x)
其中q(x)为给定的已知函数
下面用分离变量法(或称驻波法)来求解定解问
题(17)。
首先令
(x,t)=X(x)r()
将其代入方程
并分离变量得两个常微分方程
r(t)+a7()=0
X”(x)+AX(x)=0,
由边界条件(0,)=0.u(,)=0.可得
X(O)=0.X()=0
求边值问题
X”(x)+AX(x)=0.X(0)=X()=0
的非0解。
(1)当<0时,该问题没有非平凡解
(2)当=0时,该问题也没有非平凡解
(3)当入>0时,该问题有非平凡解。
此时
n=12…
x (x)=B, sin
(n=123…)
现在考虑T()+ia2()=0.
将特征值
=Z=
n、2
n=1.2.…)
代入上方程得
T()+()2T()=0
其通解为
n=C.
1.2.…
于是可得定解问题(17)中的一维热传导方程且
且满足齐次边界条件的具有变量分离形式的特解
n(x,1)=∑ae
sIn
(18)
其中an=BCn:是任意常数。
再利用初值条件(x,0)=o(x),可得
∑a,=∞x
an=[o∞(x)sin”t,
(19)
(18)
o(x)sin -dx.
(19)
(18)(19)合在一起就是所求定解问题(17)的特解。
1=a2na(00)
a(02t)=0.a(,)=0,
(x,0)=(x)
7)
若问题中的边界条件出现第二类或第三类齐次边界
条件,解法类似
有限差分法
、有限差分法的特点
有限差分方法(FD)是计算机数值模拟最早采用的方法,
至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,
用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以
Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格
节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网
格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分可题变为代数可题的近似数
值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比
较成熟的数值方法。
有限差分法的缺点是必雩进行整个区域的剖分,并且
要求网格比较规则,空间网格最好为直角网格。
、热传导方程(抛物方程)
1.热传导方程的介绍
0,t)=a(Z,)=0
x10)=f(x)
2.离散光u=u(O,大k)=0a3y=a(L)=0
=(ih20)=f(ih)=f
1)向前差分格式
L1-2n;+
+1
k
h2
计算
=sl1+(1-25)x1+sa1s
h2
这是一个星式格式(四点格式
F+1
i+1
t =f
可以证明:当0
式是稳定的。所以x的步长h和的步长k取法要恰
当
(2)向后差分格式
+1
2u:’+u
j+1
k
sul+(1+29)1-u1=a
J+1
1+1
实验目的
利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题利
用 matlab进行建模构建图形研究不同的情况下采用
何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分
布关系
【实例截图】
【核心代码】
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