利用矩阵初等变换进行对角化

全栈程序员-站长 • 2025年7月3日下午3:15 • 未分类 • 阅读 2

矩阵初等变换

记某矩阵为 $\begin{pmatrix} \alpha_{1}\\ ...\\ \alpha_{n} \end{pmatrix}$ ，其中 $\alpha_{1},...,\alpha_{n}$ 为维度为n的行向量。则行初等变换有以下三种：

1. 交换两行的位置；

2. $\alpha_{i}=k\cdot \alpha_{i}$

3. $\alpha_{i}=k\cdot \alpha_{j}+\alpha_{i}$

同样的，对应的列初等变换就是把行向量换成列向量即可。

为什么这些变换被称为矩阵的初等变换呢？或者说这些操作有什么特点呢？

如果我们把矩阵看成一个多元一次齐次线性方程组的系数矩阵的话，那么很显然，这些操作并不会改变该方程组的解空间，即加入某个向量是变换前的解，那么一定也是变换后的解，反之亦然。因此，矩阵的初等变换（无论是行初等变换还是列初等变换）实际上就是不会改变解空间的简单变换（解空间实际上就是核空间）。这一特点对矩阵的后续研究有重要的意义。

对角化

命题：对于秩为k的nxn的矩阵A，一定可以通过矩阵初等变换成如下形式：

$\begin{pmatrix} 1 &... &0 & ... &b_{1,n} \\ ...&... &... &... &... \\ 0& ...& 1 & ...& b_{k,n}\\ ...&... &... & ..& ...\\ 0 &... &0 &... &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} E_{k,k} &B_{k,n-k} \\ O_{n-k,k} & O_{n-k,n-k} \end{pmatrix}$

即可以通过矩阵初等变换，让矩阵对角化。其中 $E_{k,k}$ 表示kxk的单位矩阵， $O_{i,j}$ 表示ixj的元素为0的矩阵， $B_{i,j}$ 表示ixj的任意矩阵。

证明

1. 由于矩阵的秩为k，那么该方程组只有k个有效方程，并且这k个有效方程的系数向量是线性无关的。因为根据秩的定义，这n个方程都可以由这k个方程的线性组合得到，即这n个方程的解和这k个有效方程的解是完全一样的，因此，我们可以很容易的通过初等变换将系数矩阵变换成如下的形式：

$\begin{pmatrix} M_{k,n}\\ O_{n-k,n} \end{pmatrix}$

2. 接下来，我们只要证明 $M_{k,n}$ 可以转成 $(E_{k,k},B_{k,n-k})$ 即可。

a. 首先我们看第一个行向量 $\alpha_{1}$ ，由于是线性无关非零向量，因此必存在非零元素 $\alpha_{1,i}$ ，将第i列通过列初等变换和第一列进行互换，再将该行除以 $\alpha_{1,i}$ ，便将第一行第一列变成了1；然后将第一列除了第一个元素外的任意元素，记为 $\alpha_{j,1}$ 都减去 $\alpha_{j,1}\cdot \alpha_{1}$ ，便可以将第一列除了第一个元素外，其他元素都变成0。

b. 然后再看变换后得到的第二个行向量，可知必存在非零元素。因为如果是全零的向量，那么因为该向量只经过初等变换，也就是跟其他行向量的线性组合得到的，由此可以推出该向量和其他行向量是线性相关的，这个和前提矛盾，因此必存在非零元素。同样的，将该非零元素所在的列和第二列互换，然后重复a的操作即可。直至第k个行向量，就可以将 $M_{k,n}$ 转成 $(E_{k,k},B_{k,n-k})$ 。

这里需要强调的是，假设上述操作已经进行到第i个行向量了，由于经过上述操作后，第i行的第1到i-1的元素全都是0，因此第i行和其他行的线性组合并不会影响到其他行的第1到i-1列的元素的值，也就是对之前进行的a,b操作得到的结果不会造成影响。

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