分治算法详解
分治算法详解
一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的.
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
（8）最接近点对问题
-
void RandomBigNumFun(int low,int high) //传递参数为底数和指数
-
{
-
-
unsigned
int temp[
1024] = {
0};
//初始化一个数组，用来存放10000进制的数据
-
temp [
0] = low;
//初始化第一个元素为需要的值！
-
int flag =
-1;
//标记变量，用来指示是否需要往上一位进位，同事保存进多少
-
unsigned
int m_count =
1;
//技术变量，计算数组中被占用了多少个元素
-
int _index,index;
//两个循环变量
-
-
for(_index =
0;_index <high
-1; ++_index)
//循环high-1次 因为本身temp[0]= low，
-
{
-
for(index =
0; index < m_count ; ++index)
//循环m_count次，其实原本可以把整个数组循环完
-
{
//只不过耗时了，因为实际有值的地方只有m_count个
-
temp[ index ] *= low;
-
-
if(flag !=
-1)
//检测下一位是否溢出，需要向自己进位
-
{
-
temp[index] += flag;
-
flag =
-1;
//进位之后别忘记把标记在设置为-1
-
}
-
-
if(temp[index] >
9999)
//判断是否需要向上一位进位
-
{
-
flag = temp[index]/
10000 ;
-
temp[index] %=
10000;
-
}
-
}
-
-
if(flag !=
-1)
-
{
-
temp[index] += flag;
-
++m_count;
-
flag =
-1;
-
}
-
-
if(m_count >
1023)
-
{
-
printf(
"数据过大而数组过小，请重置存放数组的大小");
-
exit(
0);
-
}
-
}
-
-
for(index = m_count
-1;index >=
0;--index)
//这里值得说明，如果该位上是1，则要输出0001，因为是一万进制
-
{
-
if(temp[index] <
10)
-
cout<<
"000"<<temp[index];
-
else
if(temp[index] <
100)
-
cout<<
"00"<<temp[index];
-
else
if(temp[index] <
1000)
-
cout<<
"0"<<temp[index];
-
else
-
cout<<temp[index];
-
}
-
-
}
其实上述函数需要传递参数进去，这里就传3和2000进去，运行结果如下(大得难以想象)：
-
#include <iostream>
-
using
namespace
std;
-
-
inline int Translate(char str)
-
{
-
return (str -
48);
-
}
-
-
int _tmain(
int argc, _TCHAR* argv[])
-
{
-
char NumStr1 [
3] = {
'2',
'3',
'4'};
-
char NumStr2 [
3] = {
'4',
'5',
'6'};
-
int temp[
3][
6] = {
0};
-
signed
int flag =
-1;
-
-
int Temp_x =
0;
-
int Temp_y ;
-
-
int _index,index;
-
-
for(_index =
2;_index >=
0 ;--_index)
//这里的两重循环是分别赋值到二维数组里面
-
{
-
Temp_y =
5 - Temp_x;
-
-
for(index =
2;index >=
0;--index,--Temp_y)
-
{
-
temp[Temp_x][Temp_y] = Translate(NumStr2[_index]) * Translate(NumStr1[index]);
-
-
if(flag !=
-1)
-
{
-
temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
-
flag =
-1;
-
}
-
-
if(temp[Temp_x][Temp_y] >=
10)
-
{
-
flag = temp[Temp_x][Temp_y]/
10;
-
temp[Temp_x][Temp_y] %=
10;
-
}
-
}
-
-
if(flag !=
-1)
-
{
-
temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
-
flag =
-1;
-
}
-
++ Temp_x;
-
}
-
-
-
int temp_sum[
6]={
0};
-
flag =
-1;
-
-
for(
int j=
5;j >=
0;-- j)
//接下来这个循环是加每一列的数组到最后的结果数组里面
-
{
-
for(
int i=
2;i>=
0;--i)
-
temp_sum[j] += temp[i][j];
-
if(flag !=
-1)
-
{
-
temp_sum[j] += flag;
-
flag =
-1;
-
}
-
-
if( temp_sum[j] >=
10)
-
{
-
flag = temp_sum[j] /
10;
-
temp_sum[j] %=
10;
-
}
-
}
-
-
flag =
-1;
-
-
for(
int i =
0;i !=
6;++ i)
//这里是输出结果
-
-
cout<<temp_sum[i];
-
cout<<
endl;
-
system(
"pause");
-
return
0;
-
}
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
-
- static int count = -1;
-
- void move(char x,char y); // 对move函数的声明
- void hanoi(int n,char one,char two,char three) ; // 对hanoi函数的声明\
-
- int main()
- {
- int m;
- printf( "请输入一共有多少个板子需要移动:");
- scanf( "%d",&m);
- printf( "以下是%d个板子的移动方案:\n",m);
- hanoi(m, 'A', 'B', 'C');
- system( "pause");
- return 0;
- }
-
- void hanoi(int n,char one,char two,char three) // 定义hanoi函数
- // 将n个盘从one座借助two座,移到three座
- {
-
- if(n== 1)
- move(one,three);
- else
- {
- hanoi(n -1,one,three,two); //首先把n-1个从one移动到two
- move(one,three); //然后把最后一个n从one移动到three
- hanoi(n -1,two,one,three); //最后再把n-1个从two移动到three
- }
- }
-
-
- void move(char x,char y) // 定义move函数
- {
- count++;
- if( !(count% 5) )
- printf( "\n");
- printf( "%c移动至%c ",x,y);
- }
-
#include <iostream>
-
using
namespace
std;
-
int binary_sreach(int *array,int len,int elem);
-
-
int main(int argc, char* argv[])
-
{
-
int a[
7] = {
1,
2,
3,
6,
8,
9,
99};
-
cout<<binary_sreach(a,
7,
6);
-
system(
"pause");
-
return
0;
-
}
-
-
int binary_sreach(int *array,int len,int elem)
-
{
-
int low =
0;
-
int high = len -
1;
-
int middle;
-
while (low <= high)
-
{
-
middle = (low + high)/
2;
-
if(
array[middle] == elem)
-
return middle;
-
-
else
if(
array[middle] > elem)
-
high = middle;
-
else
-
low = middle;
-
}
-
-
return
-1;
-
}
-
运行结果也可想而知是3，二分法其实也就这么简单，这里也明显利用了分治的思想！！
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