两个向量的点乘和叉乘怎么算_数学基础 —— 向量运算：点乘和叉乘

全栈程序员-站长 • 2025年6月8日上午9:43 • 未分类 • 阅读 0

向量的点乘:a * b

公式：a * b = |a| * |b| * cosθ

点乘又叫向量的内积、数量积，是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积；是标量。

点乘反映着两个向量的“相似度”，两个向量越“相似”，它们的点乘越大。

向量的叉乘：a ∧ b

a ∧ b = |a| * |b| * sinθ

向量积被定义为：

模长：(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°)，它位于这两个矢量所定义的平面上。)

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。c = a ∧ b)

特别的，在二维中，两个向量的向量积的模的绝对值等于由这两天向量组成的平行四边形的面积。

向量的叉乘，即求同时垂直两个向量的向量，即c垂直于a，同时c垂直于b(a与c的夹角为90°，b与c的夹角为90°)

c = a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z , a.x*b.y-b.x*a.y)

以上图为例a(1,0,0),b(0,1,0),c=a×b = (0,0,1)

叉乘的几何意义

|c|=|a×b|=|a| |b|sinα(α为a，b向量之间的夹角)

|c| = a,b向量构成的平行四边形的面积 (如下图所示的平行四边形)

叉乘的拓展

1.在一般的常识或者教科书中规定叉乘只有3d才拥有，其实2d也可以拓展出来一个叉乘形式，而且非常有用。

拓展方式：假设有两个2d向量a,b，我们直接把他们视为3d向量，z轴补0，那么这个时候的a，b向量的叉乘结果c,c.x=0,c.y=0,c.z=a.x*b.y-b.x*a.y,

这个时候可以吧2d的叉乘值定义为得到一个值，而不是得到一个向量，那么这个值k， k = c.z=a.x*b.y-b.x*a.y，我们可以通过这个k值得到很多有用的性质

1.a，b向量构成的平行四边形的面积。

2.如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。

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