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§5.4 定积分的换元法
一、换元公式
【定理】若
1、函数
在
上连续；
2、函数
在区间
上单值且具有连续导数；
3、当
在上变化时，的值在上变化，且
， 
则有
(1)
证明：
(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。
假设
是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有
另一方面， 函数
的导数为
这表明： 函数
是
在
上的一个原函数， 故有：
从而有
对这一定理给出几点注解：
1、用替换，将原来变量
代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。
求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。
2、应注意代换的条件，避免出错。
(1)、在单值且
连续；
(2)、
3、对
于时， 换元公式(1)仍然成立。
【例1】求 
【解法一】 令 
当
时，
；当
时，
。
又当 
时，有 
且变换函数 
在
上单值，
在上连续，
由换元公式有
【解法二】令 
当时， 
； 当时， 
。
又当
时， ，
且变换函数在
上单值， 在上连续，
由换元公式有
注意：
在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。
换元公式也可以反过来， 即
【例2】求
解：设
，
当 
时，；当 
时，
一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
【例3】证明
1、若在
上连续且为偶函数，则
2、若在上连续且为奇函数，则
证明：由定积分对区间的可加性有
对
作替换 
得
故有
若为偶函数， 则 
若为奇函数， 则 
【例4】若在
上连续， 证明：
1、
2、
并由此式计算定积分 
1、证明：设 
，
2、证明： 设 
，
【例5】求 
解：令 ，
故 
评注：
这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。
§5.5 定积分的分部积分法
设函数
，
在区间
上具有连续的导函数， 则
而 
故 
这就是定积分的分部积分公式。
也可写成形式 
【例1】求 
解： 令 
， 
， 
当 
时， 
； 当 
时， 
。
【例2】计算定积分 
( 
为自然数 )。
解：设 
， 
， 
这样，我们得到了递推公式，依此公式，再计算出两个简单的初值
与
，即可求得
。
， 
当 为偶数，有
引入记号
同理，若为奇数，有
综合便得到著名的华里斯公式一
由于 
， 故
【例3】求 
( 
为自然数 )
解：令
， 
当时， ； 当 时， 
【例4】(华里斯公式二)
证明：设 
当 
时， 有
如果 为偶数， 则有
如果 为奇数，则
综合得到著名而常用的华里斯公式二
华里斯公式的应用十分地广泛，掌握好它可以方便地求许多定积分。
【例5】求 
解：应用华里斯公式二， 有
§5.7 广义积分
【引例】计算曲线 
与
轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 
。
显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算
的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数
在区间
上连续， 任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作
,亦即
此时，也称广义积分收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数 在区间
上连续，任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，
记作 
，亦即
此时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间
上连续，如果广义积分
与 
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作
。
亦即
这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】 
但 
发散,因此，是发散的。
【例1】计算广义积分 
解：
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分 
。
解：
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：将上下限
代入原函数时，意味着取极限
这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分
当 
时收敛； 当
发散。
解：若 
若 
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数 在区间
上连续， 且
，取 
，
如果极限
存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 
。亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点
称之为奇点。
类似地，有
设函数 在区间
上连续，且
，取 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即
此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点 
称之为奇点。
类似地， 又有
设函数在
上除
外均连续， 且
，
如果两个广义积分 
与 
均收敛， 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点 
称之为奇点
注明：上式中的
与
不一定是相同的。
【例4】求 
解：
，
故 
奇点。
注明：为了简便，上述过程也可写成
【例5】讨论
的敛散性。
解：
,故 
是奇点。
故 
发散，从而， 原广义积分
亦发散。
此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法
【例6】证明广义积分
当
时收敛；当
时发散。
解：当 
时， 是奇点，
广义积分 
，
故广义积分 
发散；
当 时，
故广义积分 收敛；
当时，
故广义积分 发散；
综合得：
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