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来自：刘建平
逻辑回归是分类算法，可以处理二元分类和多元分类。
名字里有“回归”二字，但不是回归算法。为什么名字有“回归”这个误导词？因为它的原理有回归模型的影子。
1. 从线性回归到逻辑回归
线性回归模型是求Y和X之间的线性关系系数Θ，满足Y= XΘ。此时Y是连续的，所以是回归模型。
想要Y是离散的话，对Y再做一次函数转换，变为g(Y)。如果g(Y)结果类别是两种，就是二元分类模型。
2. 二元逻辑回归的模型
对线性回归的结果做函数g的转换，变为逻辑回归。g一般取sigmoid函数：
取sigmoid函数，主要因为两个性质：
- 当z趋于正无穷时，g(z)趋于1，当z趋于负无穷，g(z)趋于0。
- （导数性质）
令g(z)中的z为：z = xΘ，得到二元逻辑回归模型一般形式：
其中x为样本输入，hΘ(x)为模型输出，可以是某一分类的概率大小。hΘ(x)和二元分类样本y（假设为0和1）有这样对应关系，如果hΘ(x)>0.5，即xΘ>0，则y为1。如果hΘ(x)<0.5，即xΘ<0，则y为0。y = 0.5是临界情况，此时xΘ=0，无法确定分类。
hΘ(x)值越小，分类为0的概率越高；值越大，分类为1的概率越高。靠近临界点，分类准确率会下降。
模型的矩阵模式：
其中hΘ(X)为模型输出，m*1维度。X为样本特征矩阵，为m*n维度。Θ为模型系数，为n*1的向量。
3. 二元逻辑回归的损失函数
线性回归是连续的，使用模型误差的平方和来定义损失函数。逻辑回归使用最大似然法定义损失函数。
样本输出是0或1两类，得到：
把两个式子写成一个式子：
其中y的取值是0或者1。
得到y的概率分布函数，就可以用似然函数最大化求解模型系数Θ。为了方便求解，用对数似然函数最大化，对数似然函数取反即为损失函数J(θ)。其中，似然函数的代数表达式为：
损失函数表达式：
矩阵形式：
- 为内积。
4. 二元逻辑回归的损失函数的优化方法
损失函数最小化， 最常见的有梯度下降法、坐标轴下降法、等牛顿法。
下面是推到梯度下降法中θ步骤：
5. 二元逻辑回归的正则化
逻辑回归也有过拟合问题，需要正则化，常见的L1正则化和L2正则化。
L1正则化：
超参数α是惩罚系数，||θ||1为θ的L1范数。
L1正则化损失函数的优化方法常用坐标轴下降法和最小角回归法。
L2正则化：
||θ||2为θ的L2范数。
L2正则化损失函数的优化方法和普通的逻辑回归类似（梯度下降法）。
6. 二元逻辑回归的推广：多元逻辑回归
hθ(x)
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