博弈 个人 见解

由于周測被虐，做了好久的博弈题，找了好多关于博弈的相关资料，感觉自己，似乎还是动了那么一点点。临睡前，就小小的总结一下，希望以后看到的时候，可以有所感悟吧！！

接下来是正题。

讲到博弈， 事实上也就是找规律，可是知道一般的博弈类型能够高速便捷的解决这个问题。

博弈的类型大致有下面几种：巴什博弈，威佐夫博奕，尼姆博弈。除此之外还有斐波那契博弈，sg模板等。

巴什博弈：（摘自百度文库）

巴什博奕（Bash Game）：

仅仅有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
     显然，假设n=m+1，那么因为一次最多仅仅能取m个，所以，不管先取者拿走多少个，后取者都可以一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了怎样取胜的法则：假设n=（m+1）r+s，（r为随意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，假设后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这种取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
     这个游戏还能够有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

巴什博弈主要内容是：n%(m+1)是否为零。 要是为零的话，就是先手输，否则，先手赢

威佐夫博奕：（以下关于定义的语句，为了保持说明的完整性·准确性，均摘自网络百度文库，以下就不在说明）

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同一时候从两堆中取相同多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
     这样的情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，假设甲面对（0，0），那么甲已经输了，这样的局势我们称为神秘局势。前几个神秘局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
     能够看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，神秘局势有例如以下三条性质：
     1。不论什么自然数都包括在一个且仅有一个神秘局势中。
     因为ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 >ak-1 。所以性质1。成立。
     2。随意操作都可将神秘局势变为非神秘局势。
     其实，若仅仅改变神秘局势（ak，bk）的某一个分量，那么还有一个分量不可能在其它神秘局势中，所以必定是非神秘局势。假设使（ak，bk）的两个分量同一时候降低，则因为其差不变，且不可能是其它神秘局势的差，因此也是非神秘局势。
     3。採用适当的方法，能够将非神秘局势变为神秘局势。
     假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同一时候从两堆中取走 a 个物体，就变为了神秘局势（0，0）；假设a = ak ，b > bk，那么，取走b   – bk个物体，即变为神秘局势；假设 a = ak ，   b < bk ,则同一时候从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为神秘局势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；假设a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 就可以；假设a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – bj 就可以；另外一种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – aj 就可以。
     从如上性质可知，两个人假设都採用正确操作，那么面对非神秘局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
     那么任给一个局势（a，b），如何推断它是不是神秘局势呢？我们有例如以下公式：
     ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k   （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)神秘的是当中出现了黄金切割数（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，因为2/（1+√5）=（√5-1）/2，能够先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是神秘局势。然后再依照上述法则进行，一定会遇到神秘
局势。

威佐夫博奕的思想就是那个公式：推断等号两边是否相等a(a是较小的数)==floor（（b-a）*（（sqrt（5.0）+1）/2）) 

要是相等的话就是先手输，否则先手赢

尼姆博弈：

尼姆博弈基本思想：

       两人从n堆物品中取随意个，先取完者胜。

       即将n堆物品的数量异或，得到的值假设为0，则先手败，反之先手胜。

       假设要求先手在胜的条件下，到神秘局势的方法数，则推断异或的值与每一堆原值异或后（结果应该表示该堆没有參加异或时的异或值）与原值比較大小，

假设小于，则方法数加一。且相应的方法后，该堆的数目应变为异或的值与每一堆原值异或的值。

尼姆博弈的主要内容就是：对每堆的数量进行异或运算

Fibonacci’s Game（斐波那契博弈）
斐波那契博弈模型，大致上是这种：
有一堆个数为 n 的石子，游戏两方轮流取石子，满足：
1. 先手不能在第一次把全部的石子取完；
2. 之后每次能够取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包括1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

（转）分析：     
 n = 2时输出second；    
 n = 3时也是输出second；
 n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时不管第二个人怎样取，第一个人都能赢，输出first；
 n = 5时，first不可能获胜，由于他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；  
 n = 6时，first仅仅要去掉1个，就能够让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；     
 n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；    
 n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；   
 …………     
 从上面的分析能够看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，细致的人会发现这些满足斐波那契数的规律，能够判断13也是一个必败点。     
 借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：不论什么正整数能够表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，仅仅要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此能够把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行”气喘操作”。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，仅仅要是斐波那契数，都是必败点。
所以我们能够利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，仅仅要n是斐波那契数就输出No。

  经常使用的博弈类型，基本就是这些。以后碰见很多其它的再来补充。