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LQR控制器是常见的最优控制器，它的主要特点是将控制量加入到了成本函数中。
对于线性系统：
x ˙ = A x + B u \dot x = Ax+Bu x˙=Ax+Bu
设计控制器 u = − K x u = -Kx u=−Kx使得
J = 1 2 ∫ 0 ∞ x T Q x + u T R u d t J = \frac{1}{2}\int_0^\infty x^TQx+u^TRu \,dt J=21∫0∞xTQx+uTRudt
最小。其中， x T Q x x^TQx xTQx是状态部分， u T R u u^TRu uTRu是控制部分。
为了求解K,需要引入Riccati微分方程：
P A + A T P − P B R − 1 B T P + Q = 0 PA+A^TP-PBR^{-1}B^TP+Q=0 PA+ATP−PBR−1BTP+Q=0
由上式获得P后， K = R − 1 B T P K=R^{-1}B^TP K=R−1BTP
最终， J = 1 2 x ( 0 ) T P x ( 0 ) J = \frac{1}{2}x_{(0)}^TPx_{(0)} J=21x(0)TPx(0)
参考：
https://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/39270597
https://zhuanlan.zhihu.com/p/87070103
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