线性代数行列式方程求解(正交矩阵的行列式)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

线性代数行列式求值算的可真是让人CPU疼，但计算机是不累的，所以用一个c++程序帮助你验证求解行列式的值吧。

行列式求值的基本思路

行列式求值主要有以下这几种思路：

1. 行列式等于它的任意列（或行）各个元素与其对应代数余子式乘积的和。
2. 直接利用行列式的定义（逆序数）求解
3. 利用行列式的性质做初等变换在求解：

• 性质1：互换行列式的两列（或两行），行列式仅改变符号。
• 性质2：行列式某行（或某列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式不变。

思路一——行列式展开

首先再次介绍下余子式和代数余子式：

• 余子式：在 n 阶行列式中，把某个元素所在的行列都去掉之后，剩下的 n-1 阶行列式就叫做该元素的余子式：
  
• 代数余子式：
  余子式再乘以-1的i+j次方（ij为行列式的行和列）
  
  **我们可以看到行列式展开得到的代数余子式又是一个行列式，这是一个逐步求精的过程。显然可以用递归的方法。
  基本算法：

1. 行列式按第一行展开：
2. 循环求各个元素与其对应代数余子式乘积的和。
3. 其中余子式求值递归为行列式求值
4. 递归终止条件：
   行列式阶数为1，返回该数

下面给出两种递归的方法：**

不利用辅助函数的递归：

代码如下：

double cal(double **det,int n)//det-行列式，n:行列式的阶数
{ 
   
	double detVal = 0;//行列式的值
	
	if(n == 1)//递归终止条件 
	return det[0][0]; 
	
	double **tempdet = new double *[n-1];//用来存储余相应的余子式
	 for(int i=0;i<n-1;i++)
	  tempdet[i] = new double[n-1];
	for(int i=0;i<n;i++)//第一重循环，行列式按第一行展开 
	{ 
   
		for(int j=0;j<n-1;j++)
		for(int k=0;k<n-1;k++)
		{ 
   
			if(k <i)
			tempdet[j][k]=det[j+1][k] ;
			else
			tempdet[j][k]=det[j+1][k+1];
		}
		detVal += det[0][i] * pow(-1.0,i) * cal(tempdet,n-1);
	
	 } 
	 return detVal;
} 

辅助函数递归

这一种构建了一个辅助函数，可以更加直观的理解此递归算法

//获得det[i][j]余子式行列式 
vector<vector<double> > getComplementMinor(vector<vector<double> > det,int i,int j) ;
//获得行列式det的值 
double getDetVal(vector<vector<double> > det);

//获得det[i][j]余子式行列式 
vector<vector<double> > getComplementMinor(vector<vector<double> > det,int i,int j) 
{ 
      
     
	int n=det.size(),m=det[0].size();//n为det的行，m为det的列；
	vector<vector<double> > ans(n-1);//保存获得的结果
	for(int k=0;k<n-1;k++)
	for(int l=0;l<n-1;l++)
	{ 
   
		ans[k].push_back(det[k<i?k:k+1][l<j?l:l+1]);
	}
	return ans;
}

double getDetVal(vector<vector<double> > det)
{ 
      
    double ans=0;
	int n=det.size(),m=det[0].size();//n为det的行，m为det的列；
	if(n != m)
    { 
   
    	 cout<<" 您输入的矩阵不是方阵！求么子行列式！";
    	 exit(1);
	} 
	if(det.size() == 1)
	return det[0][0];
	
	for(int i=0;i<m;i++)
	{ 
   
		ans+=det[0][i] * pow(-1,i)*getDetVal(getComplementMinor(det,0,i));
	}
	return ans;
}

奉上一个完整代码，可以直接根据提示计算

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double cal(double **det,int n)//det-行列式，n:行列式的阶数
{ 
   
	double detVal = 0;//行列式的值
	
	if(n == 1)//递归终止条件 
	return det[0][0]; 
	
	double **tempdet = new double *[n-1];//用来存储余相应的余子式
	 for(int i=0;i<n-1;i++)
	  tempdet[i] = new double[n-1];
	for(int i=0;i<n;i++)//第一重循环，行列式按第一行展开 
	{ 
   
		for(int j=0;j<n-1;j++)
		for(int k=0;k<n-1;k++)
		{ 
   
			if(k <i)
			tempdet[j][k]=det[j+1][k] ;
			else
			tempdet[j][k]=det[j+1][k+1];
		}
		detVal += det[0][i] * pow(-1.0,i) * cal(tempdet,n-1);
	
	 } 
	 return detVal;
} 
int main()
{ 
   
	int n;
	cout<<" 输入行列式的阶数："; 
	cin >> n;//输入行列式的阶数 
	double **det = new double *[n];//需要动态内存 
	for(int i=0;i<n;i++)
       det[i] = new double[n];
	  

	
	cout<<" 输入行列式："<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
     cin >> det[i][j];
     
     cout<<" 该行列式的值为："<<cal(det,n);
	
}

思路二——逆序数全排列

思路三——初等变换

调试分析

第一种方法在精度上较好，但计算的阶数有限；后两者运算速度会比较好。但是本人最近较忙，后两者暂未给出（不要打我）- . -。
做题时用第一种方法完全可以帮你解决线性代数的问题。

实现线代其它操作的参考链接

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• 线性代数矩阵乘法用C++代码实现
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