动态规划：最长回文子串 & 最长回文子序列

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一、题目

所谓回文字符串，就是一个字符串，从左到右读和从右到左读是完全一样的，比如 “a”、“aba”、“abba”。

对于一个字符串，其子串是指连续的一段子字符串，而子序列是可以非连续的一段子字符串。

最长回文子串 和 最长回文子序列（Longest Palindromic Subsequence）是指任意一个字符串，它说包含的长度最长的回文子串和回文子序列。

例如：字符串 “ABCDDCEFA”，它的 最长回文子串 即 “CDDC”，最长回文子序列 即 “ACDDCA”。

二、最长回文子串

1. 思路

首先这类问题通过穷举的办法，判断是否是回文子串并再筛选出最长的，效率是很差的。我们使用 动态规划 的策略来求解它。首先我们从子问题入手，并将子问题的解保存起来，然后在求解后面的问题时，反复的利用子问题的解，可以极大的提示效率。

由于最长回文子串是要求连续的，所以我们可以假设 j 为子串的起始坐标，i 为子串的终点坐标，其中 i 和 j 都是大于等于 0 并且小于字符串长度 length 的，且 j <= i，这样子串的长度就可以使用 i - j + 1 表示了。

我们从长度为 1 的子串依次遍历，长度为 1 的子串肯定是回文的，其长度就是 1；然后是长度为 2 的子串依次遍历，只要 str[i] 等于 str[j] ，它就是回文的，其长度为 2；接下来就好办了，长度大于 2 的子串，如果它要满足是回文子串的性质，就必须有 str[i] 等于 str[j] ，并且去掉两头的子串 str[j+1 ... i-1] 也一定是回文子串，所以我们使用一个数组来保存以 j 为子串起始坐标，i 为子串终点坐标的子串是否是回文的，由于我们是从子问题依次增大求解的，所以求解 [i ... j] 的问题时，比它规模更小的问题结果都是可以直接使用的了。

2. 代码

public class Main { 
   
  
    public static void main(String[] args) { 
   
        String s = "cabbaeeaf";
        System.out.println(getLPS(s));
    }
      
    public static String getLPS(String s) { 
   
        char[] chars = s.toCharArray();
        int length = chars.length;
        // 第一维参数表示起始位置坐标，第二维参数表示终点坐标
        // lps[j][i] 表示以 j 为起始坐标，i 为终点坐标是否为回文子串
        boolean[][] lps = new boolean[length][length];
        int maxLen = 1; // 记录最长回文子串最长长度
        int start = 0; // 记录最长回文子串起始位置
        for (int i = 0; i < length; i++) { 
   
            for (int j = 0; j <= i; j++) { 
   
                if (i - j < 2) { 
   
                    // 子字符串长度小于 2 的时候单独处理
                    lps[j][i] = chars[i] == chars[j];
                } else { 
   
                    // 如果 [i, j] 是回文子串，那么一定有 [j+1, i-1] 也是回子串
                    lps[j][i] = lps[j + 1][i - 1] && (chars[i] == chars[j]);
                }
                if (lps[j][i] && (i - j + 1) > maxLen) { 
   
                    // 如果 [i, j] 是回文子串，并且长度大于 max，则刷新最长回文子串
                    maxLen = i - j + 1;
                    start = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(start, start + maxLen);
    }
      
}

三、最长回文子序列

1. 思路

子序列的问题将比子串更复杂，因为它是可以不连续的，这样如果穷举的话，问题规模将会变得非常大，我们依旧是选择使用 动态规划 来解决。

首先我们假设 str[0 ... n-1] 是给定的长度为 n 的字符串，我们使用 lps(0, n-1) 表示以 0 为起始坐标，长度为 n-1 的最长回文子序列的长度。那么我们需要从子问题开始入手，即我们一次遍历长度 1 到 n-1 的子串，并将子串包含的 最长回文子序列的长度 保存在 lps 的二维数组中。

遍历过程中，回文子序列的长度一定有如下性质：

• 如果子串的第一个元素 str[j] 和最后一个元素 str[i+j] 相等，那么 lps[j, i+j] = lps[j+1, i+j-1] + 2，其中 lps[j+1, i+j-1] 表示去掉两头元素的最长子序列长度。
• 如果两端的元素不相等，那么lps[j, i+j] = max(lps[j][i+j-1], lps[j+1][i+j])，这两个表示的分别是去掉末端元素的子串和去掉起始元素的子串。

2. 代码

public class Main { 
   
 
    public static void main(String[] args) { 
   
        String s = "cabbeaf";
        System.out.println(getLPS(s));
    }
     
    public static int getLPS(String s) { 
   
        char[] chars = s.toCharArray();
        int length = chars.length;
        // 第一维参数表示起始位置的坐标，第二维参数表示长度，使用 0 表示长度 1
        int[][] lps = new int[length][length];
        for (int i = 0; i < length; i++) { 
   
            lps[i][i] = 1; // 单个字符的最长回文子序列长度为1，特殊对待一下
        }
        // (i + 1) 表示当前循环的子字符串长度
        for (int i = 1; i < length; i++) { 
   
            // j 表示当前循环的字符串起始坐标
            for (int j = 0; i + j < length; j++) { 
   
                // 即当前循环的子字符串坐标为 [j, i + j]
                // 所以第一个字符是 chars[j]，最后一个字符就是 chars[i + j]
                if (chars[j] == chars[i + j]) { 
   
                    lps[j][i + j] = lps[j + 1][i + j - 1] + 2;
                } else { 
   
                    lps[j][i + j] = Math.max(lps[j][i + j - 1], lps[j + 1][i + j]);
                }
            }
        }
        // 最大值一定在以0为起始点，长度为 length - 1 的位置
        return lps[0][length - 1];
    }
     
}

最后，这题只返回了最长回文子序列的长度，一般面试题中也只是要求返回长度即可。但是如果你也想知道最长回文子序列具体是啥，这可以额外添加一个变量记录最长回文子序列是哪些字符，例如维护一个键为 lps[j][i + j]，值为 String 的 map。