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BP算法是适用于多层神经网络的一种算法，它是建立在梯度下降法的基础上的。本文着重推导怎样利用梯度下降法来minimise Loss Function。
给出多层神经网络的示意图：
1.定义Loss Function
假设有一组数据样本 x 1 x^{1} x1， x 2 x^{2} x2，… ，每一个x都有很多个特征，输入x，会得到一个输出y，每一个输出都对应一个损失函数L，将所有L加起来就是total loss。
那么每一个L该如何定义呢？这里还是采用了交叉熵，如下所示：
这里的 y i y^{i} yi是真实输出， y ^ y\hat{} y^是y target，是人为定义的。最终Total Loss的表达式如下：
2.Gradient Descent
L对应了一个参数，即Network parameters θ(w1,w2…b1,b2…)，那么Gradient Descent就是求出参数 θ ∗ \theta^{*} θ∗来minimise Loss Function，即：
梯度下降的具体步骤为：
3.求偏微分
从上图可以看出，这里难点主要是求偏微分，由于L是所有损失之和，因此我们只需要对其中一个损失求偏微分，最后再求和即可。
先抽取一个简单的神经元来解释：
先理一理各个变量之间的关系：我们要求的是Total Loss对参数w的偏导，而Total Loss是一个个小的l累加得到的，因此，我们只需要求得 ∂ l ∂ w \frac{\partial l}{\partial w} ∂w∂l，而 l = − y ^ l n y l=-\hat{y}lny l=−y^lny，其中 y ^ \hat{y} y^是人为定义的，跟w没有关系，因此我们只需要知道 ∂ y ∂ w \frac{\partial y}{\partial w} ∂w∂y。l跟z有关系，根据链式求导法则，我们需要求 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l和 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z，其中 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z的求解较为容易，如下图所示：
求 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l是一个难点，因为我们并不知道后面到底有多少层，也不知道情况到底有多复杂，我们不妨先取一种最简单的情况，如下所示：
4.反向传播
在第一张图里面，我们经过正向传播很容易求出了 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z，而对于 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l，则并不是那么好求。上图其实就是运用了反向传播的思想， 对于上图中 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l最后的表达式，我们可以换一种结构，如下所示：
l对两个z的偏导我们假设是已知的，并且在这里是作为输入，三角形结构可以理解为一个乘法运算电路，其放大系数为 σ ′ ( z ) \sigma {}'(z) σ′(z)。但是在实际情况中，l对两个z的偏导是未知的。假设神经网络最终的结构就是如上图所示，那么我们的问题已经解决了：
其中：
但是假如该神经元不是最后一层，我们又该如何呢？比如又多了一层，如下所示：
那么我们只要知道 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_{a}} ∂za∂l和 ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_{b}} ∂zb∂l，我们同样可以算出 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z{}’} ∂z′∂l以及 ∂ l ∂ z ′ ′ \frac{\partial l}{\partial z{}”} ∂z′′∂l，原理跟上面类似，如下所示：
∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_{b}} ∂zb∂l同样是l先对y求导，y再对 z b z_{b} zb求导。
那假设我们再加一层呢？再加两层呢？再加三层呢？。。。，情况还是一样的，还是先求l对最后一层z的导数，乘以权重相加后最后再乘上 σ ′ ( z ′ ′ , z ′ ′ ′ , . . . ) \sigma {}'(z{}”,z{}”’,…) σ′(z′′,z′′′,...)即可。
最后给一个实例：
它的反向传播图长这样：
我们可以很轻松的算出 ∂ l ∂ z 5 \frac{\partial l}{\partial z_{5}} ∂z5∂l和 ∂ l ∂ z 6 \frac{\partial l}{\partial z_{6}} ∂z6∂l，算出这两个之后，根据上面我们找到的关系式，我们也可以轻易算出 ∂ l ∂ z 3 \frac{\partial l}{\partial z_{3}} ∂z3∂l和 ∂ l ∂ z 4 \frac{\partial l}{\partial z_{4}} ∂z4∂l，最后再算出 ∂ l ∂ z 1 \frac{\partial l}{\partial z_{1}} ∂z1∂l和 ∂ l ∂ z 2 \frac{\partial l}{\partial z_{2}} ∂z2∂l。然后 ∂ l ∂ z 1 \frac{\partial l}{\partial z_{1}} ∂z1∂l和 ∂ l ∂ z 2 \frac{\partial l}{\partial z_{2}} ∂z2∂l再分别乘上x1和x2，就是我们最终要找的 ∂ l ∂ w 1 \frac{\partial l}{\partial w_{1}} ∂w1∂l和 ∂ l ∂ w 2 \frac{\partial l}{\partial w_{2}} ∂w2∂l。
我们不难发现，这种计算方式很清楚明了地体现了“反向传播”四个字。
好了，目标达成！！
5.总结
通过Forward Pass我们求得 ∂ z ∂ w = a \frac{\partial z}{\partial w}=a ∂w∂z=a，然后通过Backward Pass我们求得 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l，二者相乘，就是 ∂ l ∂ w \frac{\partial l}{\partial w} ∂w∂l。利用上述方法求得所有参数的值之后，我们就可以用梯度下降法来更新参数，直至找到最优解。
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