大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
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为了求解问题
因为它是非凸的，我们求解一个它的近似算法
对于一个大的 τ 值，它可以用下列等式接近
其中第一项为核范式（奇异值的和），第二项为Frobenius范式。
-
Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值
* 奇异值收缩(singular value shrinkage)*
首先我们考虑一个秩为 r 的矩阵
X∈Rn1xn2
其中 U 和
V
对于每个 τ≥0 ，我们有软阈值操作 Dτ :
其中 t+ 表示的 t 非负部分，即
t+=max(0,t)
* Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值*
又因为奇异值收缩(singular value shrinkage)是核范式的近似操作(具体证明见[3])，因此上式可以转化为：
它的迭代方式为：
这个算法受到压缩感知中迭代算法的启发，在迭代过程中对矩阵进行SVD，然后将较小的奇异值设置为0，生成新的矩阵进行迭代。该算法运算速度快，对于高位低秩矩阵的恢复非常有效。
-
用拉格朗日乘子法解释
原问题为：
其拉格朗日函数为：
强对偶成立，且拉格朗日函数的鞍点是原函数与对偶问题的最优解，即
其迭代解为：
参考或延伸材料：
[1] 斯坦福SVT软件
[2] Generalized Singular Value Thresholding
[3] A singular value thresholding algorithm for matrix completion
[4] Exact Matrix Completion via Convex Optimization
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