大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

计算机科学中，除了栈以外，二叉树也是处理表达式的常用工具，为了处理表达式而遵循相应规则构造的树被称为表达式树。

表达式树

算数表达式是分层的递归结构，一个运算符作用于相应的运算对象，其运算对象又可以是任意复杂的表达式。树的递归结构正好用来表示这种表达式。下面只讨论二元表达式。
二元表达式可以很自然的联系到二叉树：以基本运算对象作为叶节点中的数据；以运算符作为非叶节点中的数据，其两棵子树是它的运算对象，子树可以是基本运算对象，也可以是复杂表达式。如图是一个表达式树。

前缀、中缀和后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
我们平时缩写的表达式，将运算符写在两个操作数中间的表达式，称作中缀表达式。在中缀表达式中，运算符有不同的优先级，圆括号用于改变运算顺序，这使得运算规则比较复杂，求值过程不能直接从左到右顺序进行，不利于计算机处理。

后缀表达式
将运算符写在两个操作数之后的表达式称作后缀表达式。后缀表达式中没有括号，并且运算符没有优先级。后缀表达式的求值过程能够严格按照从左到右的顺序进行，有利于计算机处理。

前缀表达式
前缀表达式是将运算符写在两个操作数之前的表达式。和后缀表达式一样，前缀表达式没有括号，运算符没有优先级，能严格按照从右到左的顺序计算。

另外，算式表达式和表达式树的关系如下：

• 表达式树的先根遍历：前缀表达式
• 表达式树的中根遍历：中缀表达式
• 表达式树的后根遍历：后缀表达式

表达式的转换

利用表达式树

给定一个表达式的中缀形式：(4+1*(5-2))-6/3
首先将每个运算加上括号，区分优先级，得到(4+(1*(5-2)))-(6/3)
括号外的-优先级最低，作为根节点，(4+(1*(5-2)))作为左子树，(6/3)作为右子树；
递归的转换4+(1*(5-2))，+最为根节点，4是左子树，(1*(5-2))是右子树。*是右子树的根节点，1是左子树，(5-2)是右子树。最后计算(5-2)，-是根节点，5是左子树，2是右子树。得到的表达式树如文章之初给出的图。

构造好表达式树之后，前缀表达式和中缀表达式可根据先根遍历和后根遍历得到。
前缀表达式：- + 4 * 1 – 5 2 / 6 3
后缀表达式：4 1 5 2 – * + 6 3 / –

利用栈

将中缀表达式转换为后缀表达式
step1：初始化一个栈和一个后缀表达式字符串
step2：从左到右依次对中缀表达式中的每个字符进行以下处理，直到表达式结束

• 如果字符是‘（’，将其入栈
• 如果字符是数字，添加到后缀表达式的字符串中
• 如果字符是运算符，先将栈顶优先级不低于该运算符的运算符出栈，添加到后缀表达式中，再将该运算符入栈。注意，当‘（’在栈中时，优先级最低
• 如果字符是‘）’，将栈顶元素出栈，添加到后缀表达式中，直到出栈的是‘（’
  step3：如果表达式结束，但栈中还有元素，将所有元素出栈，添加到后缀表达式中

例如给定一个表达式的中缀形式：(4+1*(5-2))-6/3，栈中元素和表达式的变化如下表所示：

最后得到后缀表达式为4 1 5 2 – * + 6 3 / –

将中缀表达式转换为前缀表达式
中缀表达式转换到前缀表达的方法和转换到后缀表达式过程一致，细节上有所变化
step1：初始化两个栈s1 和s2
step2：从右到左依次对中缀表达式中的每个字符进行以下处理，直到表达式结束

• 如果字符是‘)’，将其入栈
• 如果字符是数字，添加到s2中
• 如果字符是运算符，先将栈顶优先级不低于该运算符的运算符出栈，添加到s2中，再将该运算符入栈。当‘）’在栈中是，优先级最低
• 如果字符是‘（’，将栈顶元素出栈，添加到s2中，直到出栈的是‘）’
  step3：如果表达式结束，但栈中还有元素，将所有元素出栈，添加s2中
  step4：将栈s2中元素依次出栈，即得到前缀表达式

给定一个表达式的中缀形式：(4+1*(5-2))-6/3，其前缀形式为 – + 4 * 1 – 5 2 / 6 3

表达式的计算

中缀表达式的计算我们已经非常清楚，前缀和后缀表达式更适合计算机处理
后缀表达式的计算
后缀表达式没有括号，运算符的顺序即为实际运算顺序，在求值过程中，当遇到运算符时，只要取得前两个操作数就可以立即进行计算。当操作数出现时，不能立即求值，需要先保存等待运算符。对于等待中的操作数而言，后出现的先运算，所以需要一个栈辅助操作。
后缀表达式的运算过程如下：
step1：设置一个栈
step2：从左到右对后缀表达式中的字符进行以下处理：
– 如果字符是数字，现将其转化为数字，然后入栈
– 如果字符是运算符，出栈两个值进行计算。计算结果入栈
– 重复以上步骤，直到后缀表达式扫描结束，栈中最后一个元素就是表达式的结果。

给定后缀表达式4 1 5 2 – * + 6 3 / -，依次将4 1 5 2 入栈，当扫描到-时，2,5出栈，计算5-2=3；将3入栈，此时栈中元素为4 1 3。接着扫描到*，3 1出栈，计算1*3=3,3入栈，栈中元素为4 3,。扫描+，3 4出栈，计算4+3=7,7入栈。接着6 3 入栈，栈中该元素为7 6 3，扫描到/，3 6出栈，计算6/3=2,2入栈，栈中元素为7 2.扫描-，2 7 出栈，计算7-2=5,5入栈。表达式扫描完毕，栈中元素为5，表达式结果为5.
前缀表达式的计算
前缀表达式的计算扫描顺序从右到左，其他和后缀表达式的计算完全一致。

以上内容转载自二叉树的简单应用–表达式树，略加修改，给此文博主一个大大的赞，良心好文！！！本文以下内容为我对于这篇博文的一个补充。

表达式树代码实现

如何给一个表达式建立表达式树呢？方法有很多，这里只介绍一种：找到”最后计算”的运算符(它是整棵表达式树的根)，然后递归处理(这也是前文介绍的方法)。下面是程序：

const int maxn = 1000;
int lch[maxn], rch[maxn]; char op[maxn];
int nc = 0;		//结点数
int build_tree(char* s, int x, int y)
{
	int i, cl = -1, c2 = -1, p = 0;
	int u;
	if(y-x == 1)		//仅一个字符，建立单独结点
	{
		u = ++nc;
		lch[u] = rch[u] = 0; op[u] = s[x];
		return u;
	}
	for(i = x; i < y; i++)
	{
		switch(s[i])
		{
			case '(': p++; break;
			case ')': p--; break;
			case '+': case '-': if(!p) c1 = i; break;
			case '*': case '/': if(!p) c2 = i; break;
		}
	}
	if(c1 < 0) c1 = c2;		//找不到括号外的加减号，就用乘除号
	if(c1 < 0) return build_tree(s, x+1, y-1);		//整个表达式被一对括号括起来
	u = ++nc;
	lch[u] = build_tree(s, x, c1);
	rch[u] = build_tree(s, c1+1, y);
	op[u] = s[c1];
	return u;
}

注意上述代码是如何寻找“最后一个运算符”的。代码里用了一个变量p，只有当p=0时才考虑这个运算符。为什么呢？因为括号里的运算符一定不是最后计算的，应当忽略。例如(a+b)*c中虽然有一个加号，但却是在括号里的，实际上比它优先级高的乘号才是最后计算的。由于加减和乘除号都是左结合的，最后一个运算符才是最后计算的，所以用两个变量c1和c2分别记录“最右”出现的加减号和乘除号。
再接下来的代码就不难理解了：如果括号外有加减号，它们肯定最后计算；但如果没有加减号，就需要考虑乘除号( if(c1<0) c1 = c2 )；如果全都没有，说明整个表达式外面被一对括号括起来，把它去掉后递归调用。这样，就找到了最后计算的运算符s[c1]，它的左子树是区间[x, c1]，右子树是区间[c1+1, y]。
提示：建立表达式树的一种方法是每次找到最后的运算符，然后递归建树。“最后计算”的运算符是在括号外的、优先级最低的运算符。如果有多个，根据结合性来选择：左结合的(如加减乘除)选最右边；右结合的(如乘方)选最左边。根据规定，优先级相同的运算符的结合性总是相同。

后缀表达式计算代码实现

这个代码十分简单，只要将算法直译过来即是代码，博主比较懒，就将这个工作交给读者了，如果学校里后面有这个作业，博主会贴上代码。。

拓展：由浅入深表达式树（一）创建表达式树