常用组合数计算公式及推算[通俗易懂]

全栈程序员-站长 • 2022年7月25日下午9:46 • 未分类 • 阅读 26

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参考：博客1 博客2

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组合数的通项公式：

$\cdot C_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!*m!}$

公式1：

证明：

n个不同的数选择m个，第m个的选择方案为：

1、选第m个： $C_{n-1}^{m-1}$

2、不选第m个: $C_{n-1}^{m}$

公式2：

证明： $m*C_{n}^{m}=m*\frac{n!}{(n-m)!*m!}=\frac{n!}{(n-m)!(m-1)!}=n*\frac{(n-1)!}{(n-m)!(m-1)!}=n*C_{n-1}^{m-1}$

性质3：

证明：

$\sum _{i=1}^{n}C_{n}^{i}*i=\sum_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!*i!}*i=n*\sum _{i=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(n-i)!*(i-1)!}=n*\sum _{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}=n*2^{n-1}$

性质4：

证明：

性质5：

性质6：

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