动态规划0—1背包问题

全栈程序员-站长 • 2022年7月26日上午9:36 • 未分类 • 阅读 6

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动态规划0-1背包问题

问题描述：

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装

入背包中物品的总价值最大?

对于一种物品，要么装入背包，要么不装。所以对于一种物品的装入状态可以取0和1.我们设物品i的装入状态为xi,xi∈ (0,1)，此问题称为0-11背包问题。

过程分析

数据：物品个数n=5,物品重量w[n]={0，2，2，6，5，4},物品价值V[n]={0，6，3，5，4，6},

（第0位，置为0，不参与计算，只是便于与后面的下标进行统一，无特别用处，也可不这么处理。）总重量c=10.

Ø背包的最大容量为10，那么在设置数组m大小时，可以设行列值为6和11，那么，对于m(i,j)就表示可选物品为i…n背包容量为j(总重量)时背包中所放物品的最大价值。

动态规划0—1背包问题

下面写点，我对动态规划浅薄的理解，希望看到这篇文章的同学们，能更容易理解这个算法思想。

首先，要明白这个算法的核心，我建议首先要会暴力求最值的算法，就是用搜索去求最值的算法，不管是用dfs，还是bfs，都可以，首先你要建立一个状态的概念，搜索中就会有这个概念，明白从一个状态到一个状态怎么搜索，怎么求。动态规划的实质就是，将问题化为求解子问题，前一个子问题最值问题求解了，如果你找到子问题与当前问题的关系，那么当前问题就解决了，是一个迭代的过程。另外，将搜索进行记忆化，其实也是一种dp的思想，我觉得首先你得了解记忆化搜索的思想，才能入得了动态规划的门，明白啦这个思想之后，后面的东西你慢慢就领悟啦，不然老是说dp，看了一遍，觉得懂了，下次又忘啦，其实就是用空间换时间的一种搜索而已，很简单的思想。

下面是自己写的源码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<climits>
#include<cstring>
using namespace std;
const int c = 10;             //背包的容量
const int w[] = {0,2,2,6,5,4};//物品的重量，其中0号位置不使用 。 
const int v[] = {0,6,3,5,4,6};//物品对应的待加，0号位置置为空。
const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数 
int x[n+1];
void package0_1(int m[][11],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的个数 
{
    //采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值
    //首先放w[n]
    for(int j = 0; j <= c; j++)
       if(j < w[n]) m[n][j] = 0;     //j小于w[n],所对应的值设为0，否则就为可以放置 
       else         m[n][j] = v[n];
       
    //对剩下的n-1个物品进行放置。
    int i;
    for(i = n-1; i >= 1; i--)
        for(int j = 0; j <= c; j++)
           if(j < w[i]) 
                        m[i][j] = m[i+1][j];//如果j < w[i]则，当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值。
                                            //否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者。            
           else         m[i][j] = m[i+1][j] > m[i+1][j-w[i]] + v[i]? 
                                  m[i+1][j] : m[i+1][j-w[i]] + v[i];  
}
void answer(int m[][11],const int n)
{
    int j = c;
    int i;
    for(i = 1; i <= n-1; i++)
        if(m[i][j] == m[i+1][j]) x[i] = 0;
        else                    { 
                                 x[i] = 1;
                                 j = j - w[i];
                                 }    
    x[n] = m[i][j] ? 1 : 0; 
}
int main()
{
 int m[6][11]={0};
 
 package0_1(m,w,v,n);
 for(int i = 0; i <= 5; i++)
 {
     for(int j = 0; j <= 10; j++)
     printf("%2d ",m[i][j]);
     cout << endl; 
 } 
 answer(m,n);
 cout << "The best answer is:\n";
 for(int i = 1; i <= 5; i++)
 cout << x[i] << " ";
 system("pause");
 return 0;
}

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