对数的计算公式[通俗易懂]

全栈程序员-站长 • 2022年8月1日下午4:46 • 未分类 • 阅读 7

对数的计算公式[通俗易懂]性质编辑①；②；③负数与零无对数.④*=1；恒等式及证明a^log(a)(N)=N(a>0，a≠1）推导：log(a)(a^N)=N恒等式证明在a>0且a≠1，N>0时设：当l

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性质编辑

①

对数的计算公式[通俗易懂]

；

②

对数的计算公式[通俗易懂]

；

③负数与零无对数.

④

对数的计算公式[通俗易懂]

*

对数的计算公式[通俗易懂]

=1；

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）

推导：log(a) (a^N)=N

恒等式证明

在a>0且a≠1，N>0时

设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

运算法则编辑

①

对数的计算公式[通俗易懂]

②

对数的计算公式[通俗易懂]

③

对数的计算公式[通俗易懂]

(M,N∈R)

如果

对数的计算公式[通俗易懂]

，则m为数a的
自然对数，即

对数的计算公式[通俗易懂]

，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义：若

对数的计算公式[通俗易懂]

则

对数的计算公式[通俗易懂]

基本性质：

1、

对数的计算公式[通俗易懂]

2、

对数的计算公式[通俗易懂]

3、

对数的计算公式[通俗易懂]

4、

对数的计算公式[通俗易懂]

5、

对数的计算公式[通俗易懂]

推导：

1、因为

对数的计算公式[通俗易懂]

，代入则

对数的计算公式[通俗易懂]

，即

对数的计算公式[通俗易懂]

。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

对数的计算公式[通俗易懂]

由指数的性质

对数的计算公式[通俗易懂]

又因为指数函数是单调函数，所以

对数的计算公式[通俗易懂]

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

对数的计算公式[通俗易懂]

由指数的性质

对数的计算公式[通俗易懂]

又因为指数函数是单调函数，所以

对数的计算公式[通俗易懂]

4、与（2）类似处理

由基本性质1(换掉M)

对数的计算公式[通俗易懂]

由指数的性质

对数的计算公式[通俗易懂]

又因为指数函数是单调函数，所以

对数的计算公式[通俗易懂]

或

由基本性质2（展开

对数的计算公式[通俗易懂]

，如图所示）

对数基本性质4推导过程

对数基本性质4推导过程

基本性质4推广

对数的计算公式[通俗易懂]

推导如下：由换底公式（见下面）[

对数的计算公式[通俗易懂]

是

对数的计算公式[通俗易懂]

，e称作自然对数的底]

对数的计算公式[通俗易懂]

换底公式的推导：设

对数的计算公式[通俗易懂]

则

对数的计算公式[通俗易懂]

其中

对数的计算公式[通俗易懂]

得：

对数的计算公式[通俗易懂]

由基本性质4可得

对数的计算公式[通俗易懂]

再由换底公式

对数的计算公式[通俗易懂]

换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③

对数的计算公式[通俗易懂]

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

求导数编辑

(xlogax)’=logax+1/lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)’=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)’=(lnx)’=1/x

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