大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。
Jetbrains全系列IDE使用 1年只要46元 售后保障 童叟无欺
【点乘】
在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
代数定义
设二维空间内有两个向量
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226112953806-1001890668.jpg)
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://javaforall.net/wp-content/uploads/2020/11/2020110817443450.jpg)
和
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113022212-1031490939.jpg)
定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：
和
定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113040744-1658723266.jpg)
更一般地，n维向量的内积定义如下:
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113057572-523352464.jpg)
几何定义
设二维空间内有两个向量
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113247212-1651040067.jpg)
和![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113302181-260497192.jpg)
，它们的夹角为![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113313712-2144400396.jpg)
，则内积定义为以下实数：
和
，它们的夹角为 ，则内积定义为以下实数：
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113326556-1666804764.jpg)
该定义只对二维和三维空间有效。
点积的值
u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。
两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。
运算律
交换律：
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113429759-1368222559.jpg)
分配律： ![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113441087-748607086.jpg)
结合律： ![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113451134-468198012.jpg)
，其中m是实数。
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113753853-846530921.jpg)
【叉乘】
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
表示方法
两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。
定义
设a=(X1,Y1,Z1),b=(X2,Y2,Z2),
a×b=（Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1）
向量积可以被定义为：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226113925775-55552889.jpg)
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
也可以这样定义（等效）：
向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。
性质
几何意义及其运用
叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226114804525-788077952.png)
混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。
代数规则
反交换律：
a×b= -b×a
加法的分配律：
a× (b+c) =a×b+a×c
与标量乘法兼容：
(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
不满足结合律，但满足
雅可比恒等式：
雅可比恒等式：
a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0
![向量的点乘和叉乘[通俗易懂]](https://images2017.cnblogs.com/blog/773362/201712/773362-20171226115054931-1692609162.png)
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请联系我们举报，一经查实，本站将立刻删除。
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/166935.html原文链接：https://javaforall.net
