贝叶斯计算公式_贝叶斯公式推导

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【文章搬运自我的网易博客(http://zhenxuan1991.blog.163.com/)】

今天下午偶然机会，又去看贝叶斯公式。

$P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}$

就是这样简单的号称是“概率论中的勾股定理”的一个公式。有非常有趣的一点。

所谓“反直觉”的一点。
http://www.guokr.com/article/517/ 这个链接中，果壳网友讨论了一个问题：粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。采用某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。那么如果一个人检测结果为阳性，那么他得艾滋病的概率到底是多大？

当然，解答这个问题，我们要借助贝叶斯公式。

(1)我们定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则A‘表示被检测人不携带艾滋病病毒；定义事件T为“试验结果呈阳性”；

(2)要求概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知：

(3)计算得，P(A|T)=0.087

结论是：如果一个人检测结果为阳性，那么他患病的概率是8.7% 。很低的一个概率。试想，一个人在得知自己的血检是阳性的时候又听说其实患病的概率只是8.7%会有什么感受？

对，唯一的感受是：这哪儿跟哪儿啊？！

可是贝叶斯公式错了吗？推导过程一步步在那摆着呢。那直觉错了吗？直觉怎么会错，难道我看到阳性结果不应该为自己担心吗？

同样在那个链接中，有一个ID为 on9 的人说：我认为这样解释能让更多人容易理解：假设有这么一个理想统计人群，一共有十万人。那么按照文中的发病率千分之一，那么应该有一百人有艾滋病。而根据那两个误诊率，那么这一百个人里面，有九十五个会验出是阳性，而有五个（5%）会被验出为阴性（假阴性）。而在剩下的九万九千九百个没病的人里面，会有九百九十九个人（1%）验出是阳性（假阳性）。因此，总结所有十万个人里面，验出阳性的人有999+95=1094人，其中真正有病的只有95个，占其中的8.68%。那位被验出是阳性的哥，真正杯具的几率只有不到10%！

参考他的说法，我自己又整理了一下思路：用直白的话说，一个健康人检验结果为阳性的概率是0.01，但是有很多“不幸”的健康人落入到这个概率中。而在所有检测为阳性的人中，真正的病人与“不幸”的健康人比例大概为10:90，也就是100个阳性检测结果中，有90个人是健康的。所以就会有这种反直觉的计算结果。而出现这种结果的原因是什么？因为健康人检验结果为阳性的概率(0.01)太高，也就是检测可靠性太低。我算了一下，如果健康人检验结果为阳性的概率降低到0.0001，那么如果一个人检验结果为阳性，那么他患病的概率就飙升到0.9056.

所以我认为，所谓的反直觉这种情况，其实是不存在的。如果机器的检测结果可靠性更好，也不存在“阳性结果患病的概率只有8%”这种情况。而题中所言的0.01的误诊率，其实是非常高的。而这也是我认为唯一存在“反直觉”的地方——在概率与统计中，0.1的误差其实比我们所认为的大得多。

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