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LaTeX语法参考：http://www.mohu.org/info/lshort-cn.pdf
第一讲：函数
- 实数与数轴，实数集（区间、邻域）。
- 有界集与确界。
- 函数及常用函数（函数三要素、数列(整标函数)、基本初等函数、初等函数）。
【分段函数是否一定非初等； y ​​ = ​​ ∣ x ∣ y\!\!=\!\! \left| {x} \right| y=∣x∣是初等还是非初等；复合函数举例；】
- 坐标系（直角坐标系、极坐标系）。
第二讲：数列极限的概念
- 曲边三角形求面积。
- ε − N \varepsilon-N ε−N语言（ U ˚ ( x 0 , ε ) \mathring{U}(x_0,\varepsilon ) U˚(x0,ε)内有无穷多个函数值且 ε \varepsilon ε可任意小）。
- 极限定义： lim n → ∞ x n ​ = ​ A ⟺ ∀ ε > ​ 0 , ∃ N , s . t 当 n > N 时 , 有 ∣ x n ​ − ​ A ∣ < ε . \lim_{n\to \infty} x_n\!=\!A\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>\!0, \exist N, s.t当n>N时,有\left| {x_n\!-\!A} \right|<\varepsilon. n→∞limxn=A⟺∀ε>0,∃N,s.t当n>N时,有∣xn−A∣<ε.只能用来判断A是否是极限，而不能用来求极限。
【例题1】：证明 lim n → ∞ 1 n = 0. \lim_{n\to \infty}{1\over n} =0. n→∞limn1=0.
【例题2】：证明 lim n → ∞ a n = 1. ( a > 1 ) \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{a}}=1.(a>1) n→∞limna=1.(a>1)
【思考1】：取N的值的时候，取整函数后面不加1行不行？（用极限定义证明极限就是要找到合题的N,找到即可,不要求找到的N为可能的最小值）。
【例题3】：证明（不易求解关于n的不等式的情况） lim n → ∞ n n = 1. \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1. n→∞limnn=1.【例题4】：证明 ∀ ε ∈ ( 0 , 1 ) , ∃ N , 使 当 n ≥ N 时 , 恒 有 ∣ x n − A ∣ ≤ ε . \forall \varepsilon \in (0,1),\exist N,使当n\geq N时,恒有\left|{x_n-A}\right|\leq \varepsilon. ∀ε∈(0,1),∃N,使当n≥N时,恒有∣xn−A∣≤ε.是 lim n → ∞ x n = A . \lim_{n\to \infty}x_n=A. n→∞limxn=A.的充要条件。
第三讲：数列极限的性质与运算
- 数列极限具有唯一性（反证法）、保序性、有界性（奇偶数子列极限不同推不收敛）。
- 数列极限的四则运算（公式变形、分子有理化、）。
第三讲：数列极限的收敛准则
- 数列极限的收敛准则：夹挤准则（放缩极限过程中不起作用的部分；丢弃部分和；放缩部分因式； ∣ x n ∣ ​ → ​ 0 ⇔ x n ​ → ​ 0 \left|{x_n}\right|\!\to \!0\Leftrightarrow x_n\! \to \!0 ∣xn∣→0⇔xn→0）、单调有界准则。
【例题1】单调有界准则求（证明）极限。
第五讲：函数极限的概念、性质与运算
- 函数极限定义的6中趋向。
- 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、保序性）。
- 函数极限的运算（四则运算、复合运算）。
【思考1】：函数极限复合运算中 u ≠ u 0 u\ne u_0 u̸=u0的必要性。 - 函数极限的定式：
lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , 其 中 f ( x ) 为 基 本 初 等 函 数 或 初 等 函 数 。 \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),其中f(x)为基本初等函数或初等函数。 x→x0limf(x)=f(x0),其中f(x)为基本初等函数或初等函数。
【思考1】： lim x → ∞ e x 是 否 存 在 ？ \lim_{x \to \infty}e^x是否存在？ x→∞limex是否存在？
第六讲：两个重要极限
- lim x → 0 s i n x x = 1 , 其 中 x 可 广 义 化 . \lim_{x \to 0}{sinx \over x}=1,其中x可广义化. x→0limxsinx=1,其中x可广义化.
- lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e , 其 中 x 可 广 义 化 . \lim_{x\to 0}{(1+x)^{1\over x}}=e,其中x可广义化. x→0lim(1+x)x1=e,其中x可广义化.
- 【结论1】：幂指函数可直接带入求极限。
第七讲：无穷小
- 无穷大量与无界量的区别。
- 无穷小的性质：有限加和仍为无穷小；乘以有界量仍为无穷小； lim f ( x ) = lim g ( x ) ⟺ f ( x ) = g ( x ) + α , 其 中 α 为 极 限 过 程 中 的 无 穷 小 . \lim{f(x)}=\lim{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)+\alpha,\\其中\alpha 为极限过程中的无穷小. limf(x)=limg(x)⟺f(x)=g(x)+α,其中α为极限过程中的无穷小.
【例题1】：已知函数极限求其参数
设 lim x → + ∞ ( 1 + e x 1 − e x − a x − b ) = 0 , 求 a , b . 设\lim_{x \to +\infty}{( { {1+e^x}\over {1-e^x} } -ax-b)}=0,求a,b. 设x→+∞lim(1−ex1+ex−ax−b)=0,求a,b. - 无穷小的比较：阶数、高阶、低阶、等价。
- 【定理】：等价无穷小代换。
【例题1】：算极限过程中cosx不熟悉换元变成sinx。
第八讲：连续
- 连续函数的性质：四则运算、复合运算、单调连续函数的反函数及初等函数的连续性。
【疑问1】：感觉不对的题。 - 闭区间连续函数的性质：有界性、最值原理、零点定理、介值定理。
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