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目录
1、逻辑回归
逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大化似然函数方法，运用梯度下降来求解参数，来达到将数据二分目的。
2、算法推导
对数几率函数：是一种Sigmoid函数，通过此函数来输出类别概率。
对数几率函数为：
，其中y 代表的是样本视为正样本的可能性，则 1-y 为视为负样本的可能性。
对数几率：定义为 
,其中 y/(1-y) 称为比率。
决策边界：作用在 n 维空间，将不同样本分开的平面或曲面，在逻辑回归中，决策边界对应$ wx+b=0 。
3、逻辑参数估计
3.1、使用极大似然法进行参数估计
现学习目标是对参数 w 和b 进行参数估计，使得逻辑回归模型能尽可能符合数据集分布。
现在，即对对数似然函数求极大值，即以对数似然函数为目标的最优化问题。 L(w) 是关于 w 的高阶连续可导凸函数，根据凸优化理论，可采用梯度下降法，牛顿法等优化方法求解。
3.2、逻辑回归的损失函数
逻辑回归的损失函数是交叉熵损失函数，交叉熵主要用于度量分布的差异性
4、逻辑回归的梯度下降
5、多分类逻辑回归
一般逻辑回归是一个二分类模型，可推广至多分类
假设：离散型随机变量 y 的取值集合是 {1,2,…K} ，共有 k 类，则多分类逻辑回归模型的输出概率为：
其中，注意 p(y=k|x)是一个取 1 到 k-1类其中一类， K 是指第 K 类， p(y=K|x) 便是由1减去其他k取值的概率就是第K类的概率。
二阶逻辑回归的参数估计法也可推广到多项逻辑回归。
6、逻辑回归的欠、过拟合
6.1、解决过拟合和欠拟合问题
解决LR回归欠拟合：
- 增加特征的维度
解决LR的过拟合：
- 减少特征的数量，可人工特征选择，也可降维等模型算法选择
- 正则化(加入 L1,L2 罚项)
- 逐渐减小梯度下降学习率
6.2、LR 正则化
6.2.1、L1正则化
LASSO 回归，相当于为模型添加了这样一个先验知识：w服从零均值拉普拉斯分布。
拉普拉斯分布：
等价于原始的cross−entropy后面加上了L1正则，因此L1正则的本质其实是为模型增加了“模型参数服从零均值拉普拉斯分布”这一先验知识。
6.2.2、 L2 正则化
Ridge 回归，相当于为模型添加了这样一个先验知识：w服从零均值正态分布。
等价于原始的cross−entropy后面加上了L2正则，因此L2正则的本质其实是为模型增加了“模型参数服从零均值正态分布”这一先验知识。
6.3 、L1正则化和L2正则化的区别
- 如上面所讲，两者引入的关于模型参数的先验知识不一样。
- L1偏向于使模型参数变得稀疏（但实际上并不那么容易），L2偏向于使模型每一个参数都很小，但是更加稠密，从而防止过拟合。
L1偏向于稀疏，L2偏向于稠密，看下面两张图，每一个圆表示loss的等高线，即在该圆上loss都是相同的，可以看到L1更容易在坐标轴上达到，而L2则容易在象限里达到。
L1 L2
7、LR与最大熵模型的关系
先说结论，LR与最大熵模型是等价的，下面证明这一点。
将最大熵模型写成约束问题：
8、逻辑回归的优缺点
LR优点：
- 直接对分类的可能性建模，无需事先假设数据分布，避免了假设分布不准确带来的问题
- 不仅预测出类别，还可得到近似概率预测
- 对率函数是任意阶可导凸函数，有很好得数学性质，很多数值优化算法可直接用于求取最优解
- 容易使用和解释，计算代价低
- LR对时间和内存需求上相当高效
- 可应用于分布式数据，并且还有在线算法实现，用较小资源处理较大数据
- 对数据中小噪声鲁棒性很好，并且不会受到轻微多重共线性影响
- 因为结果是概率，可用作排序模型
LR缺点：
- 容易欠拟合，分类精度不高
- 数据特征有缺失或特征空间很大时效果不好
9、逻辑回归面对线性不可分数据
逻辑回归本质上是一个线性模型，可通过:
- 利用特殊核函数,对特征进行变换把低维空间转换到高维空间，使用组合特征映射(如多项式特征)。但组合特征泛化能力较弱
- 扩展LR算法，提出FM算法
10、逻辑回归通常稀疏的原因
- 分类特征通常采用one-hot转换成数值特征，产生大量稀疏
- 一般很少直接将连续值作为逻辑回归模型输入，而是将连续特征离散化
LR一般需要连续特征离散化原因
- 离散特征的增加和减少都很容易，易于模型快速迭代
- 稀疏向量内积乘法速廈快，计算结果方便存储，容易扩展
- 离散化的特征对异常数据有很强的鲁棒性(比如年龄为300异常值可归为年龄>30这一段
- 逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限。单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于对模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合
- 离散化进行特征交叉，由 M+N 个变量为 M*N 个变量(将单个特征分成 M 个取值)，进一步引入非线性，提升表达能力
- 特征离散化后，模型会更稳定(比如对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为用户年龄，增加一岁变成完全不同的人，但区间相邻处样本会相反，所以怎样划分区间很重要)
- 特征离散化后，简化了LR模型作用，降低模型过拟合风险
11、逻辑回归和线性回归的异同
相同之处：
- 都使用了极大似然估计来对样本建模。线性回归使用最小二乘法，实际上就是在自变量 x 和参数 w 确定，因变量 y 服从正态分布的假设下，使用最大似然估计的一个化简。逻辑回归通过对似然函数的学习，得到最佳参数 w
- 二者在求解参数的过程中，都可以使用梯度下降的方法
不同之处：
- 逻辑回归处理的是分类问题，线性回归处理的是回归问题
- 逻辑回归中因变量取值是一个二元分布，模型学习得出的是 E[y|x,w] ，即给定自变量和参数后，得到因变量的期望。而线性回归实际上求解的是 y=wx ，是对假设的真实关系 y=wx+e 的一个近似，其中e 是误差项
- 逻辑回归中因变量是离散的，线性回归中的因变量是连续的。并在自变量与参数 w 确定情况下，逻辑回归可以看作广义线性模型在因变量 y 服从二元分布时一个特殊情况，而使用最小二乘法求解线性回归时，我们认为因变量 y 服从正态分布
参考网址：
https://blog.csdn.net/songbinxu/article/details/79633790 （较深入的逻辑回归介绍）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/56900935 （较基础的逻辑回归介绍）
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