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矩阵范数不等式
∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ||A||_2 \le ||A||_1||A||_{\infty} ∣∣A∣∣2≤∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞
证明
引理1 严格对角占优的矩阵行列式为正
n维实矩阵A, 满足
a i i > ∑ 1 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ a i j ∣ a_{ii}\gt \sum_{1\le j\le n, j\ne i}|a_{ij}| aii>1≤j≤n,j=i∑∣aij∣
则称A为严格对角占优的矩阵，而
∣ A ∣ > 0 |A|>0 ∣A∣>0
引理1的证明
对矩阵A的维数n使用数学归纳法证明
1° 当n=1时，显然成立
2° 假设当n=k时，显然成立
当n=k+1时,
A = [ a 11 b ⃗ 1 T b ⃗ 2 C ] A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & \vec b_1^T\\ \vec b_2 & C\\ \end{matrix} \right] A=[a11b2b1TC]
严格对角占优条件得到， a 11 > 0 a_{11} \gt 0 a11>0，所以通过行的初等变换，将 b ⃗ 2 \vec b2 b2转换为 0 ⃗ \vec 0 0，此时C变为 C ′ { c i j ′ } C’\{c’_{ij}\} C′{
cij′}，取任一行i-1行
c i − 1 j − 1 ′ = 1 a 1 1 ( a 1 1 a i j − a 1 j a i 1 ) c’_{i-1\ j-1} = \frac 1{a_{1\ 1}}({a_{1\ 1}a_{ij} – a_{1j}a_{i1}}) ci−1 j−1′=a1 11(a1 1aij−a1jai1)
所以
∑ 2 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ c i − 1 j − 1 ′ ∣ = ∑ 2 ≤ j ≤ n , j ≠ i 1 a 1 1 ∣ a 1 1 a i j − a 1 j a i 1 ∣ ≤ ∑ 2 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ a i j ∣ + ∣ a i 1 ∣ a 1 1 ∑ 2 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ a 1 j ∣ < a i i − ∣ a i 1 ∣ + ∣ a i 1 ∣ − ∣ a i 1 ∣ ∣ a 1 i ∣ a 1 1 = a i i − ∣ a i 1 ∣ ∣ a 1 i ∣ a 1 1 \begin{aligned} \sum_{2\le j \le n, j\ne i}|c’_{i-1\ j-1}| &= \sum_{2\le j \le n, j\ne i} \frac 1{a_{1\ 1}}|{a_{1\ 1}a_{ij} – a_{1j}a_{i1}}|\\ &\le \sum_{2\le j \le n, j\ne i} |a_{ij}| + \frac {|a_{i1}|}{a_{1\ 1}} \sum_{2\le j \le n, j\ne i}|a_{1j}|\\ &\lt a_{ii} – |a_{i1}| + |a_{i1}| – \frac {|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{1\ 1}} \\ &= a_{ii} – \frac {|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{1\ 1}} \end{aligned} 2≤j≤n,j=i∑∣ci−1 j−1′∣=2≤j≤n,j=i∑a1 11∣a1 1aij−a1jai1∣≤2≤j≤n,j=i∑∣aij∣+a1 1∣ai1∣2≤j≤n,j=i∑∣a1j∣<aii−∣ai1∣+∣ai1∣−a1 1∣ai1∣∣a1i∣=aii−a1 1∣ai1∣∣a1i∣
而
c i − 1 i − 1 ′ = 1 a 1 1 ( a 1 1 a i i − a 1 i a i 1 ) ≥ a i i − ∣ a i 1 ∣ ∣ a 1 i ∣ a 1 1 c’_{i-1\ i-1} = \frac 1{a_{1\ 1}}({a_{1\ 1}a_{ii} – a_{1i}a_{i1}})\ge a_{ii} – \frac {|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{1\ 1}} ci−1 i−1′=a1 11(a1 1aii−a1iai1)≥aii−a1 1∣ai1∣∣a1i∣
所以
c i − 1 i − 1 ′ > ∑ 2 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ c i − 1 j − 1 ′ ∣ c’_{i-1\ i-1} \gt \sum_{2\le j \le n, j\ne i}|c’_{i-1\ j-1}| ci−1 i−1′>2≤j≤n,j=i∑∣ci−1 j−1′∣
所以C’是严格对角占优矩阵， C’的维数是k，所以|C’|>0, 而 ∣ A ∣ = a 1 1 ∣ C ′ ∣ |A| = a_{1\ 1}|C’| ∣A∣=a1 1∣C′∣ 所以|A|>0成立。
综合1° 2°， ∣ A ∣ > 0 |A|>0 ∣A∣>0
原命题证明
令 C { c i j } = A T A C\{c_{ij}\} = A^TA C{
cij}=ATA,则 A T A A^TA ATA的特征多项式f(λ)
f ( λ ) = ∣ λ E − C ∣ f(λ) = |λE – C| f(λ)=∣λE−C∣
任取 λ ′ > ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ λ’ \gt ||A||_1||A||_{\infty} λ′>∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞, 令 D { d i j } = λ ′ E − C A D\{d_{ij}\} = λ’E – CA D{
dij}=λ′E−CA
d i i = λ ′ − c i i d_{ii} = λ’ – c_{ii} dii=λ′−cii
d i j = c i j , j ≠ i d_{ij} = c_{ij}, j\ne i dij=cij,j=i
d i i − ∑ 1 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ d i j ∣ ≤ λ ′ − ∑ j = 1 n ∣ c i j ∣ d_{ii} – \sum_{1\le j \le n, j\ne i} |d_{ij}| \le λ’ – \sum_{j=1}^n |c_{ij}| dii−1≤j≤n,j=i∑∣dij∣≤λ′−j=1∑n∣cij∣
而
∣ c i j ∣ = ∣ ∑ k = 1 n a k i a j k ∣ ≤ ∑ k = 1 n ∣ a k i ∣ ∣ a j k ∣ |c_{ij}| = |\sum_{k=1}^n a_{ki}a{jk}| \le \sum_{k=1}^n |a_{ki}||a_{jk}| ∣cij∣=∣k=1∑nakiajk∣≤k=1∑n∣aki∣∣ajk∣
所以
∑ j = 1 n ∣ c i j ∣ ≤ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∣ a k i ∣ ∣ a j k ∣ = ∑ k = 1 n ( ∣ a k i ∣ ∑ j = 1 n ∣ a j k ∣ ) ≤ ∑ k = 1 n ( ∣ a k i ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∑ k = 1 n ∣ a k i ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 \begin{aligned} \sum_{j=1}^n |c_{ij}| &\le \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n |a_{ki}||a_{jk}|\\ &=\sum_{k=1}^n(|a_{ki}|\sum_{j=1}^n |a_{jk}|) \\ &\le \sum_{k=1}^n(|a_{ki}|||A||_{\infty}) \\ &= ||A||_{\infty} \sum_{k=1}^n|a_{ki}| \\ &\le ||A||_{\infty} ||A||_1 \end{aligned} j=1∑n∣cij∣≤j=1∑nk=1∑n∣aki∣∣ajk∣=k=1∑n(∣aki∣j=1∑n∣ajk∣)≤k=1∑n(∣aki∣∣∣A∣∣∞)=∣∣A∣∣∞k=1∑n∣aki∣≤∣∣A∣∣∞∣∣A∣∣1
所以
d i i − ∑ 1 ≤ j ≤ n , j ≠ i ∣ d i j ∣ ≥ λ ′ − ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 > 0 d_{ii} – \sum_{1\le j \le n, j\ne i} |d_{ij}| \ge λ’ – ||A||_{\infty} ||A||_1 \gt 0 dii−1≤j≤n,j=i∑∣dij∣≥λ′−∣∣A∣∣∞∣∣A∣∣1>0
所以D是严格对角占优矩阵，根据引理1，得到|D|>0,最后得到f(λ’)>0.
记 A T A A^TA ATA的最大特征值为 λ m a x λ_{max} λmax,而f(λ_max) = 0，所以 λ m a x ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ λ_{max} \le ||A||_1||A||_{\infty} λmax≤∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞
所以
∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ m a x ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ||A||_2 = λ_{max} \le ||A||_1||A||_{\infty} ∣∣A∣∣2=λmax≤∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞
1-范数相容性
A是mxn矩阵，B是nxs矩阵,则
∣ ∣ A B ∣ ∣ 1 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ B ∣ ∣ 1 ||AB||_1 \le ||A||_1\ ||B||_1 ∣∣AB∣∣1≤∣∣A∣∣1 ∣∣B∣∣1
证明
令 C { c i j } = A B C\{c_{ij}\} = AB C{
cij}=AB,则
c i j = ∑ k = 1 n a i n b n j c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{in}b{nj} cij=k=1∑nainbnj
所以
∑ i = 0 m ∣ c i j ∣ = ∣ ∑ i = 0 ∑ k = 1 n a i n b n j ∣ ≤ ∑ k = 1 n ( ∣ b n j ∣ ∑ i = 0 m ∣ a i n ∣ ) ≤ ∑ k = 1 n ( ∣ b n j ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∑ k = 1 n ∣ b n j ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ B ∣ ∣ 1 \begin{aligned} \sum_{i=0}^m |c_{ij}| &= |\sum_{i=0} \sum_{k=1}^na_{in}b{nj}| \\ &\le \sum_{k=1}^n (|b_{nj}| \sum_{i=0}^m |a_{in}|) \\ &\le \sum_{k=1}^n (|b_{nj}| ||A||_1) \\ &= ||A||_1 \sum_{k=1}^n |b_{nj} \\ &\le ||A||_1\ ||B||_1 \end{aligned} i=0∑m∣cij∣=∣i=0∑k=1∑nainbnj∣≤k=1∑n(∣bnj∣i=0∑m∣ain∣)≤k=1∑n(∣bnj∣∣∣A∣∣1)=∣∣A∣∣1k=1∑n∣bnj≤∣∣A∣∣1 ∣∣B∣∣1
所以
∣ ∣ A B ∣ ∣ 1 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ B ∣ ∣ 1 ||AB||_1\le ||A||_1\ ||B||_1 ∣∣AB∣∣1≤∣∣A∣∣1 ∣∣B∣∣1
2-范数相容性
A是mxn矩阵，B是nxs矩阵,则
∣ ∣ A B ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ||AB||_2 \le ||A||_2\ ||B||_2 ∣∣AB∣∣2≤∣∣A∣∣2 ∣∣B∣∣2
证明
任取一个s维向量 x ⃗ \vec x x 满足 ∣ ∣ x ⃗ ∣ ∣ 2 = 1 ||\vec x||_2 = 1 ∣∣x∣∣2=1,则
∣ ∣ B x ⃗ ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ||B\vec x||_2 \le ||B||_2 ∣∣Bx∣∣2≤∣∣B∣∣2
令
y ⃗ = B x ⃗ ∣ ∣ B x ⃗ ∣ ∣ 2 \vec y = \frac{B\vec x}{||B\vec x||_2} y=∣∣Bx∣∣2Bx
则
∣ ∣ A y ⃗ ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ||A\vec y||_2 \le ||A||_2 ∣∣Ay∣∣2≤∣∣A∣∣2
所以
∣ ∣ A B x ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ B x ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A y ⃗ ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ||AB\vec x||_2 = ||B\vec x||_2\ ||A\vec y||_2 \le ||B||_2\ ||A||_2 ∣∣ABx∣∣2=∣∣Bx∣∣2 ∣∣Ay∣∣2≤∣∣B∣∣2 ∣∣A∣∣2
所以
∣ ∣ A B ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ B ∣ ∣ 2 ||AB||_2 \le ||A||_2\ ||B||_2 ∣∣AB∣∣2≤∣∣A∣∣2 ∣∣B∣∣2
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