矩阵的初等变换
@(线性代数)
理解清楚 E i ( k ) , E i j , E i j ( k ) E_i(k), E_{ij}, E_{ij}(k) Ei(k),Eij,Eij(k)的含义。
E i ( k ) E_i(k) Ei(k)：单位矩阵的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩阵。
E i j E_{ij} Eij：单位矩阵第i行和第j行交换或者第i列和第j列交换得到的矩阵。
E i j ( k ) E_{ij}(k) Eij(k)：单位矩阵的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前；那么也可以理解为第i列乘以k倍加到第j列。
看具体例子：
E i − 1 ( k ) = E i ( 1 k ) E_i^{-1}(k) = E_i({1\over k}) Ei−1(k)=Ei(k1)
[ 1 0 0 0 3 0 0 0 1 ] − 1 = [ 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 ] {\left[\begin{array}{ccc} 1& 0 &0 \\ 0& 3 &0 \\ 0& 0 &1 \end{array} \right]}^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1& 0 &0 \\ 0&1 \over 3 &0 \\ 0& 0 &1 \end{array} \right] ⎣⎡100030001⎦⎤−1=⎣⎡1000310001⎦⎤
E i j − 1 = E i j E_{ij}^{-1} = E_{ij} Eij−1=Eij
[ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] − 1 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] {\left[\begin{array}{ccc} 0& 1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0& 0 &1 \end{array} \right]}^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 0& 1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0& 0 &1 \end{array} \right] ⎣⎡010100001⎦⎤−1=⎣⎡010100001⎦⎤
如如不动。
E i j − 1 ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k) Eij−1(k)=Eij(−k)
[ 1 0 0 0 1 0 0 5 1 ] − 1 = [ 1 0 0 0 1 0 0 − 5 1 ] {\left[\begin{array}{ccc} 1& 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 5 &1 \end{array} \right]}^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1& 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& -5 &1 \end{array} \right] ⎣⎡100015001⎦⎤−1=⎣⎡10001−5001⎦⎤
同样也是找到操作的模式再用对应的公式去操作单位矩阵。
这里是把第二行乘以5倍加到第三行，那么逆就是第二行乘以-5倍加到第三行。
以上。
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