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一、导数定义
f ′ ( x 0 ) = lim △ x → 0 f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) △ x = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0)=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
二、微分定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内有定义，且 x 0 + △ x x_0+\triangle x x0+△x 在该邻域内，对于函数增量 △ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) △y=f(x0+△x)−f(x0) ，若存在与 △ x \triangle x △x 无关的常数 A A A ，使得 △ y = A △ x + o ( △ x ) \triangle y=A\triangle x+o(\triangle x) △y=A△x+o(△x) ，其中 o ( △ x ) o(\triangle x) o(△x) 是在 △ x → 0 \triangle x\to 0 △x→0 时比 △ x \triangle x △x 更高阶的无穷小，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可微，并称 A △ x A\triangle x A△x 为 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处的微分，记作 d y ∣ x = x 0 = A △ x dy|_{x=x_0}=A\triangle x dy∣x=x0=A△x 或者 d f ( x ) ∣ x = x 0 = A △ x df(x)|_{x=x_0}=A\triangle x df(x)∣x=x0=A△x 。又 △ x = d x \triangle x=dx △x=dx ，故 d y ∣ x = x 0 = A d x dy|_{x=x_0}=Adx dy∣x=x0=Adx 。
三、计算
1. 基本求导公式
( log α x ) ′ = 1 x ln α ( α > 0 , α ≠ 0 ) (\log_\alpha x)’=\frac{1}{x\ln\alpha}(\alpha>0,\alpha\ne0) (logαx)′=xlnα1(α>0,α=0)
( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=1−x21
( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)’=\sec^2x (tanx)′=sec2x
( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)′=−1−x21
( cot x ) ′ = − csc 2 x (\cot x)’=-\csc^2x (cotx)′=−csc2x
( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2} (arctanx)′=1+x21
( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 (arccotx)’=-\frac{1}{1+x^2} (arccotx)′=−1+x21
( sec x ) ′ = sec x tan x (\sec x)’=\sec x\tan x (secx)′=secxtanx
( csc x ) ′ = − csc x cot x (\csc x)’=-\csc x\cot x (cscx)′=−cscxcotx
[ ln ( x + x 2 + 1 ) ] ′ = 1 x 2 + 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]’=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} [ln(x+x2+1)]′=x2+11
[ ln ( x + x 2 − 1 ) ] ′ = 1 x 2 − 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]’=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} [ln(x+x2−1)]′=x2−11
2. 复合函数求导
设 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 在点 x x x 处可导， y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 在点 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 处可导，则：
{ f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \left \{f \left [g \left (x \right ) \right ] \right \} ‘ = f’ \left [ g\left( x \right) \right ] g'(x) {
f[g(x)]}′=f′[g(x)]g′(x)
3. 隐函数求导
等号两边同时对自变量求导即可。
4. 反函数求导
y x ′ = d y d x = 1 d x d y = 1 x y ′ y’_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x’_y} yx′=dxdy=dydx1=xy′1
y x x ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( 1 x y ′ ) d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ 1 x y ′ = − x y y ′ ′ ( x y ′ ) 3 y”_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x’_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x’_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x’_y}=-\frac{x”_{yy}}{(x’_y)^3} yxx′′=dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(xy′1)=dyd(xy′1)⋅xy′1=−(xy′)3xyy′′
5. 分段函数求导
分段点用定义法，非分段点用公式法。
6. 多项乘除、开方、乘方求导
使用对数求导法，将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。
7. 幂指函数求导
将幂指函数转化为指数函数求导。
8. 参数方程求导
d y d x = d y d t d x d t \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} dxdy=dtdxdtdy
d 2 y d x 2 = d ( d y d t ) d t d x d t = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) [ x ′ ( t ) ] 3 \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y”(t)x'(t)-x”(t)y'(t)}{\left[x’\left(t\right)\right]^3} dx2d2y=dtdxdtd(dtdy)=[x′(t)]3y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)
9. 变限积分求导
F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt
F ′ ( x ) = f [ φ 2 ( x ) ] φ 2 ′ ( x ) − f [ φ 1 ( x ) ] φ 1 ′ ( x ) F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2′(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1′(x) F′(x)=f[φ2(x)]φ2′(x)−f[φ1(x)]φ1′(x)
10. 高阶导数求导
- 数学归纳法处理
- 泰勒公式（麦克劳林展开）
- 使用莱布尼茨公式： ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)
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