二重积分问题、计算法则与注意事项汇总

提示：本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生，文中题型方法为个人总结，为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨，但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误，欢迎批评指正。

摘要

本文主要介绍的内容有：

1、重积分的概念与本质

2、重积分的几何意义与运算方法

3、利用重积分的性质解题（题型汇总）

！！！重点汇总重积分计算的相关题型，并为每一种题型提供例题与明晰的解题思路

一、重积分是什么？

1、重积分的概念

我们都知道，一元函数定积分的概念构建，本质上是”带点分割——取模计算黎曼和极限——验证黎曼和极限与取点的任意性无关“，重积分的概念也可由类似思路推得，我们以二重积分为例，主要解决以下几个问题：

1、在 $R^{2}$ 上如何进行分割？

2、如何取模最理想？

3、如何验证黎曼和极限与分割时取点的任意性无关？

在不规则的 $R^{2}$ 区域内，这些问题很难找到答案，因此，我们将积分区域首先限制在平面上的一个矩形域中，在这个矩形域中，可以将其分割成呈网格状的一个又一个小矩形，随后取所有矩形对角线长度的最大值作为分割的模，然后即可求出黎曼和的极限。若此黎曼和式的极限存在，且该极限值与分割的任意性、取点的任意性无关，则称此函数在这个矩形域内可积。下面我们就来探究一下，什么样的二元函数在该矩形域内可积？

我们略过与达布上和等的有关推导，可得以下两个结论：

1、若二元函数在矩形域内连续，则其一定可积

2、若二元函数在矩形域上的间断点构成的集合是零面积集，则可积（在通常情况下，可理解为“有限个间断点”）

得到了二元函数在矩形域下的可积条件，我们再将其推广到任意区域中时，我们可以写出

$D\subset I$

$\iint_{D}^{}f(x,y)=\left\{\begin{matrix} f(x,y) & \(x,y)\in D\\ 0 & (x,y)\in I/D \end{matrix}\right.$

因此我们可得出：

1、若二元函数连续，则其一定可积

2、若二元函数的间断点构成的集合是零面积集，且D的边界也是零面积集，则可积

因此，对于重积分的概念与本质，实质上就是对无限多分割的求和与累积。

二、重积分的性质

1.几何意义

对于二重积分而言， $\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy$ 是以D区域为底，的值为高求得的立方体的体积，若，则 $\iint_{D}^{}dxdy$ 表示D区域的面积，被称为面积元，表示无穷小的一块面积。

对于三重积分而言， $\iiint_{D}^{}f(x,y)dxdydz$ 是以D区域为体积，的值为密度求得的立方体的质量，若，则 $\iiint_{D}^{}dxdydz$ 表示D区域的面积，被称为体积元，表示无穷小的一块体积。

2.运算方法

对于二重积分的基本运算方法，我们都已耳熟能详，不过就是累次积分法和变量代换法两种，或是二者的结合，对于使用这两种解法的初级题目，我给出以下解题步骤：

1、观察积分区域与被积函数形式，确定是否变量代换。若积分区域为圆形等其他规则几何图形，建议用变量代换，若无，考虑累次积分。

2、画出积分区域，确定x,y的范围。（确定范围时要尤其注意，先确定容易确定的变量范围，然后”后积“此变量，在此之后将该变量取一个常值取截原积分区域，可得另一变量的范围）

3、累次积分，由难到易，变成一元函数积分问题。

对于三重积分的基本运算方法，与二重积分类似，

三、重积分的计算相关题型汇总（个人曾经出错的地方）

1、二重积分的运算方法

关于累次积分法

1、一些原本不可积的对象，换序后变得可积（最好在过程中表示出来）

例：计算二次积分 $\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1} e^{-y^{2}} dy$

不定积分 $\int e ^{-t^{2}}dt$ 不是初等函数，因此按照本题所给的顺序，这个积分是算不出来的。记：

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} e^{-y^{2}} ,& x\in [0,1],y\in [x,1]\\ 0,& x\in[0,1],y\in[0,x] \end{matrix}\right.$

显然，f 在矩形域上的不连续点都在直线 $y=x,x\in[0,1]$ 上，这是一个零面积集，所以此函数对于 $x\in [0,1]$ ，关于y在[0,1]上可积；同理，该函数对于 $y\in [0,1]$ ，关于x在[0.1]上可积。所以可进行正常换序。（注意能够正常换序的条件！！！）

下换序过程略。

2、累次积分时进行区域分割的情况汇总

x,y的取值范围需要经过分割后才能完整表示整个区域

被积函数带有绝对值/被积函数是分段函数

在sinx等函数中，一定范围内积分上下限的大小关系发生了变化，为了保持二重积分化为累次积分时积分下限要小于积分上限的原则，需要进行分段讨论。

3、对于“体”的区域分割（由于自己画图时做出体与平面相交区域是十分困难的，所以我们提出单独讲解）

例题：求由平面 $z=x+1,z=0,x^{2}+y^{2}=4$ 围成的两个空间区域的体积。

tip1:若空间想象能力弱，画图困难，可以考虑利用不等式列出所有可能情况，再筛选出合理情况

如：在 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 时，有两种可能， $0\leqslant z\leqslant x+1$ 和 $x+1\leqslant z\leqslant 0$ 这两种情况均成立，于是找到了x取值范围中的两个区域，再用累次积分法逐一求解即可

注意：若计算这两个空间区域的体积，应该先将两个区域分别求积分，取绝对值后，再进行相加

tip2：让z=0,将所有函数向xoy平面上做投影，通过投影区域确定x和y的范围与累次积分的顺序

4、若x,y的取值范围无关（如矩形域）且x,y的被积函数可以完全拆开成为只有x的形式与只有y的形式，则二重积分可以写成两个普通的一元函数积分乘积的形式。

关于变量代换法

1、关于从 $dxdy\rightarrow \begin{vmatrix} \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \end{vmatrix}dudv$ 要注意

1、若变量代换是关于u,v到x,y的函数，可选择先求出 $\frac{D(u,v)}{D(x,y)}$ ，再取倒数以简化运算

2、注意求出行列式之后要取绝对值！！！

2、对于极坐标的变量代换，自己发现的小规律

1、一般先固定 $\theta$ 在某两个特定角度中，再导出 $\rho$ 与 $\theta$ 有关的关系式；

2、对于定义域为圆的二重积分，我发现：若过圆心，则 $\rho$ 的范围确定，与 $\theta$ 无关；若不过圆心，则 $\rho$ 的范围，与 $\theta$ 有关，且可用题中不等式表示出来。（如果单纯 $x=\rho cos\theta ,y=\rho sin\theta$ 的话）

3、注意： $dxdy=\rho d\rho d\theta$

3、求闭曲线围成区域的面积

step1：求出闭曲线的极坐标方程，确定 $\theta$ 的范围（闭曲线的话就是从0到2pi）。然后确定 $\rho$ 的范围（用题中方程式表示）

step2：直接对区域进行二重积分即可

4、求闭曲面围成区域的体积

（如求椭球面）

step1：写出上半曲面的方程，将z与x,y分离（显式表示）

step2：将z赋值为0，对应了此曲面在xy平面上的投影

step3：利用关于坐标轴的对称性，将其化简为x,y两轴正半轴上的部分

step4：得到体积公式 $V=8\iint_{D}^{}zdS$ ，运用变量代换法求解

#关于椭圆面( $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ )上x和y的坐标变换

$x=a\rho cos\theta ,y=b\rho sin\theta$

5、对于通过其他变量代换的：关注题目中有规律的结构；最好代换后新的自变量区域为矩形；不要忘记成一个Jacobi矩阵。

发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/206508.html原文链接：https://javaforall.net

二重积分问题、计算法则与注意事项汇总

摘要

一、重积分是什么？

1、重积分的概念

二、重积分的性质

1.几何意义

2.运算方法

三、重积分的计算相关题型汇总（个人曾经出错的地方）

1、二重积分的运算方法

关于累次积分法

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