前几天考了图形学考试，一开始看Hermite曲线PPT的时候不怎么看得懂，网上查资料的时候也是东一点西一点，看的头疼。本来昨天打算把关于Hermite曲线的内容整理一下，结果玩了一天回来以后就不怎么想动手，今天终于整理了。2016年来了，希望在这一年里多做一点有意义的事情。内容如下：（一开始用Word整理的，有的符号没有了，所以有的打算用截图代替）
Hermite曲线
三次Hermite曲线是以法国数学家Charles Hermite命名的。他是三次参数样条曲线的基础。
定义：Hermite曲线是以曲线的两个端点P0，P1和端点处的切向矢量P0‘，P1‘为边界条件的三次参数曲线。
空间自由曲线三次参数方程的一般形式可表示为
现在已知P0，P1 ，P0‘，P1‘，代入求出A,B,C,D
Q’(t)=3At2+2Bt+C
解得，
A = P0 ‘+ P1 ‘+2(P0– P1)
B = 3(P1 – P0)-2 P0‘ – P1‘
C = P0 ‘
D = P0
所以，可得
曲线可表示为Q(t) = Fn1P0+ Fn2P1 + Fn3P0‘ + Fn4P1‘
下面求Hermite的二阶导数形式：
Fn1 =2t3 – 3t2+1 F’n1 =6t2 – 6t F’’n1 =12t – 6
Fn2 =-2t3 + 3t2 F’n2 =-6t2 + 6t F’’n2 =-12t + 6
Fn3 =t3 – 2t2+ t F’n3 =3t2 – 4t +1 F’’n3 =6t – 4
Fn4 = t3-t2 F’n4 = 3t2 – 2t F’’n4 = 6t – 2
Q’’(t) = F’’n1(t)Q(0)+ F’’n2(t)Q(1) + F’’n3(t)Q’(0) + F’’n4(t)Q’(1)
t =0时：
Q’’(0) = -6Q(0) + 6Q(1) -4Q’(0) – 2Q’(1)
t =1时：
Q’’(1) = 6Q(0) – 6Q(1) +2Q’(0) + 4Q’(1)
联立消除Q’(0), Q’(1)
Q(t) = (1-t)Q(0) + tQ(1) +1/6(-t3 + 3t2 -2t)Q’’(0) + 1/6( t3-t )Q’’(1)
连续的三次参数样条曲线
现有一组离散点Pi(i = 1,2,…n)，需要构造连续曲线。据Hermite曲线的边界条件，构造n-1段曲线。
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条件：连接点处，二阶导数连续
设有三点Pi-1,Pi,Pi+1构造两段曲线，即Pi-1Pi和PiPi+1
对于Pi-1Pi段：（起点）P’’i-1= -6Pi-1 + 6Pi– 4P’i-1– 2P’i
（终点） P’’i = 6Pi-1 -6Pi +2P’i-1 + 4P’i
对于PiPi+1段：（起点）P’’i =-6Pi + 6Pi +1– 4P’i– 2P’i+1
（终点） P’’i+1 = 6Pi -6Pi+1 +2P’i + 4P’i+1
得到 Pi-1+ 4Pi + Pi+1 = 3(Pi+1 – Pi-1)
边界条件分为自由端，夹持端，抛物端
1：自由端
在两端点处的二阶导数为零
即P’’1 =-6P1 + 6P2 – 4P’1 -2P’2 =0 && P’’n= 6Pn-1 – 6Pn + 2P’n-1+ 4P’n
得到 2P’1 + P’2= 3(P2 – P1)
P’n-1 + 2P’n = 3(Pn– Pn-1)
2:夹持端
即端点处的切向矢量为已知
P’1 = k1E1 P’n = knEn E1,En为已知的断点切向矢量
3：抛物端
即求得的分段曲线最初段和最末段为抛物线，所以曲线的二次导数为一个常数，即这两段曲线起点终点处导数相等，由此得到
P’2 + P’1= 2(P2 – P1)
P’n + P’n-1= 2(Pn – Pn-1)
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