本篇主要记录一元与多元微分中的导数与微分的类比学习
一元微分
导数与微分
导数(derivative)： 实际上导数是一种特殊的极限，其意义是指函数值在某点的变化率(aka.斜率，tangent line)
lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \cfrac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0} x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
微分(differential)：微分的实质是将不均匀变化的函数用均匀的方式表示，其意义是指函数改变量的近似值。
可微的定义：
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x) Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx) 即 d y = A Δ x 即~dy = A\Delta x 即 dy=AΔx
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我们不难发现在上述公式中，我们把一个非均匀变化的函数用线性的方式 ( A Δ x + o ( x ) ) \Big(A\Delta x + o(x)\Big) (AΔx+o(x))近似表示出来了，可能你会有疑问 ‘这 A Δ x 和 o ( x ) A\Delta x 和 o(x) AΔx和o(x)是个啥？怎么就表示出来了？’ 别急马上揭晓，我们的目的是用线性的方式表达函数的改变量 Δ y \Delta y Δy，公式中 A Δ x ~A\Delta x~ AΔx 是 f ( x ) ~f(x)~ f(x) 的线性主要部分( 1 ^1 1线性 2 ^2 2主部)，既然有主部那当然就会有次要部分即 o ( Δ x ) o(\Delta x) o(Δx)， o ( Δ x ) = Δ y − d y o(\Delta x) = \Delta y – dy o(Δx)=Δy−dy是在 Δ x → 0 \Delta x\rightarrow 0 Δx→0时可以忽略的高阶无穷小部分。
我们说回到 A Δ x ~A\Delta x~ AΔx ，当中的 A A A其实就是 tan α \tan\alpha tanα，而导数 f ′ ( x 0 ) = tan α f'(x_0) = \tan\alpha f′(x0)=tanα，在这里我们也发现了导数和微分的联系，可微 ⇌ \rightleftharpoons ⇌可导，并且当 Δ x → 0 \Delta x\rightarrow 0 Δx→0时 Δ y ~\Delta y~ Δy 无限的接近 d y ~dy~ dy ，于是我们便得到了
d y = A Δ x d y = f ′ ( x 0 ) d x dy = A\Delta x\\ dy = f'(x_0)dx dy=AΔxdy=f′(x0)dx
对微分的认识 ：微分中引入了一个新的符号 d \fbox {d} d，在初学的过程中总是对 d ~d~ d 这个符号的认识不清晰，而 d x ~dx~ dx 其实就是表示当 Δ x → 0 \Delta x\rightarrow 0 Δx→0 时 x 0 ~x_0~ x0 的微小增量。
多元微分
高数中多元主要研究对象为二元，以下偏导数与全微分(全增量)的理解需要掌握多元函数中平面点集、极限、连续的基本概念。
其中邻域、边界、区域、聚点的理解可以对比一元函数学习更易理解。
偏导数与全微分
偏导数(partial/del/… derivative)：
在实际问题中，我们常常需要了解一个受到多种因素制约的变量，在控制其他因素固定不变的情况下，只考虑一种因素变化的问题，即控制变量法，而在数学中就是多元函数在其他自变量固定不变的情况下，函数随一个自变量变化的变化率问题。
if lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x ∃ 记 为 ∂ z ∂ x ∣ x = x 0 y = y 0 , z x ′ ∣ x = x 0 y = y 0 , f x ′ ( x 0 , y 0 ) \text{if}\quad\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\quad\exists\quad记为\frac{\partial z}{\partial x}\Big|\tiny\begin{matrix} x=x_0 \\ y=y_0 \end{matrix}\ , \quad\large z’_x\Big |\tiny\begin{matrix} x=x_0 \\ y=y_0 \end{matrix} \normalsize \ ,\quad f’_x(x_0,y_0) ifΔx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)∃记为∂x∂z∣∣∣x=x0y=y0 ,zx′∣∣∣x=x0y=y0 ,fx′(x0,y0)
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可以将一元函数中的导数概念移植到多元函数中，鉴于多元就是两个或以上的自变量，我们通过用二元函数对象来研究会更加的直观，所以对应一元中的平面直角坐标系就可以使用空间直角坐标系来理解。
如图，我们以 ∂ x ~\partial x~ ∂x 为例，我们可以控制令 y = y 0 y=y_0 y=y0，得到 M 0 T x M_0T_x M0Tx截面，截出一条曲线 z = f ( x , y 0 ) z=f(x,y_0) z=f(x,y0)这就是偏导数 ∂ z ∂ x ~\cfrac{\partial z}{\partial x}~ ∂x∂z ， ∂ z ∂ y ~\cfrac{\partial z}{\partial y}~ ∂y∂z 同理，至此我们就得到了函数随一个自变量变化的变化率。
例： z = f ( x , y ) = x 2 + 3 x y + y 2 z=f(x,y)=x^2+3xy+y^2 z=f(x,y)=x2+3xy+y2在点 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)处的偏导数
对 x ~x~ x 求导， y ~y~ y 看作常数，得：
f x ′ ( x , y ) = 2 x + 3 y f’_x(x,y)=2x+3y fx′(x,y)=2x+3y
对 y ~y~ y 求导， x ~x~ x 看作常数，得：
f y ′ ( x , y ) = 2 y + 3 x f’_y(x,y)=2y+3x fy′(x,y)=2y+3x
代入点 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)，得：
f x ′ ( 1 , 2 ) = 8 , f y ′ ( 1 , 2 ) = 7 f’_x(1,2)=8,~f’_y(1,2)=7 fx′(1,2)=8, fy′(1,2)=7
全微分(total differential)：
我们已经了解了一元函数中增量与微分之间的关系 ( d y = f ′ ( x 0 ) d x ) \Big( dy = f'(x_0)dx\Big) (dy=f′(x0)dx)和多元函数的偏导数，将这两点结合起来不难得到二元函数的偏增量与偏微分之间的关系：
f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) = f x ( x , y ) Δ x + o ( Δ x ) f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y ) f(x+\Delta x,y) – f(x,y)=f_x(x,y)\Delta x+o(\Delta x)\\ f(x,y+\Delta y) – f(x,y)= f_y(x,y)\Delta y +o(\Delta y) f(x+Δx,y)−f(x,y)=fx(x,y)Δx+o(Δx)f(x,y+Δy)−f(x,y)=fy(x,y)Δy+o(Δy)
而全微分就是指多元函数中自变量 x , y ~x,y~ x,y 都取得增量时因变量 z ~z~ z 所获得的全增量 Δ z \Delta z Δz的问题。 了解这些内容之后，就可以得出全微分的概念。
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) – f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\\ Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=AΔx+BΔy+o(ρ) 即 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y 即~dz=A\Delta x+B\Delta y= \cfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\cfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y 即 dz=AΔx+BΔy=∂x∂zΔx+∂y∂zΔy
补充： ρ = ( x + Δ x − x ) 2 + ( y + Δ y − y ) 2 \rho=\sqrt{(x+\Delta x – x)^2+(y+\Delta y-y)^2} ρ=(x+Δx−x)2+(y+Δy−y)2 ( \Big ( ( 平面上两点之间距离公式 ) \Big) )全微分中的次要部分为 Δ x Δ y \Delta x\Delta y ΔxΔy是 ρ \rho ρ的高阶无穷小。
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类似于一元函数中用线性的方式来近似表示函数的增量，在多元函数中我们可以用一小块切平面来近似代替二元曲线在某点邻近的一块曲面。
道 阻 且 长 ， 行 则 将 至 道阻且长，行则将至 道阻且长，行则将至
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