【手撕STL】二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

注：

• 二叉搜索树查找一个值最多查找高度次
• 二叉搜索树按中序遍历，值可以从小到大打印出来

二叉搜索树操作

二叉搜索树的插入

• 根节点为空，直接插入
• 根节点不为空：
• 1. 如果该节点key==要插入的key ，返回false
• 2. 如果该节点key>要插入的key ，则向该节点的左子树查找（若该节点的左子树为空，则直接插入）
• 3. 如果该节点key
     <要插入的key ，则向该节点的右子树查找（若该节点的右子树为空，则直接插入）<="" li="">
     

二叉搜索树的查找

• 如果根节点key==查找key，返回true
• 如果根节点key>查找key，在其左子树查找
• 如果根节点key
  <查找key，在其右子树查找
  否则返回false
  

若根节点为空，返回false

二叉搜索树的删除

二叉搜索树的实现（递归及非递归）

#pragma once #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include 
     using namespace std; template<class K> struct BSTreeNode { 
    BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_key(key) { 
   } BSTreeNode<K>* _left; BSTreeNode<K>* _right; K _key; }; template<class K> class BSTree { 
    typedef BSTreeNode<K> Node; public: // BSTree() = default; 强制编译器自动生成默认构造函数 BSTree() :_root(nullptr) { 
   } //也可写成 BSTree(const BSTree& t) BSTree(const BSTree<K>& t) { 
    _root = _Copy(t._root); } //BSTree 
   
     & operator=(BSTree t) 
    BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) { 
    swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { 
    _Destroy(_root); } bool Insert(const K& key) { 
    if (_root == nullptr) { 
    _root = new Node(key); return true; } //找出要插入的位置 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    return false; } } cur = new Node(key); if (parent->_key > key) { 
    parent->_left = cur; } else { 
    parent->_right = cur; } return true; } void InOrder() { 
    _InOrder(_root); cout << endl; } Node* Find(const K& key) { 
    Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    cur = cur->_right; } else { 
    return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { 
    Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    if (cur->_left == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_right; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_right; } else { 
    parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_left; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_left; } else { 
    parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { 
    //找右树最小节点去替代删除 Node* minrightparent = cur; Node* minright = cur->_right; while (minright->_left) { 
    minrightparent = minright; minright = minright->_left; } cur->_key = minright->_key; if (minrightparent->_left == minright) { 
    minrightparent->_left = minright->_right; } else { 
    minrightparent->_right = minright->_right; } delete minright; } return true; } } return false; } //递归版本 bool InsertR(const K& key) { 
    return _InsertR(_root, key); } Node* FindR(const K& key) { 
    return _FindR(_root, key); } bool EraseR(const K& key) { 
    return _EraseR(_root, key); } private: Node* _Copy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) return nullptr; Node* newnode = new Node(root->_key); newnode->_left = _Copy(root->_left); newnode->_right = _Copy(root->_right); return newnode; } void _Destroy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _Destroy(root->_left); _Destroy(root->_right); delete root; } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { 
    if (root == nullptr) { 
    return false; } else { 
    if (root->_key > key) { 
    return _EraseR(root->_left, key); } else if (root->_key < key) { 
    return _EraseR(root->_right, key); } else { 
    Node* del = root; if (root->_left == nullptr) { 
    root = root->_right; } else if (root->_right == nullptr) { 
    root = root->_left; } else { 
    //替代法删除 Node* minright = root->_right; while (minright->_left) { 
    minright = minright->_left; } root->_key = minright->_key; //转换成递归在右子树中删除最小节点 return _EraseR(root->_right, minright->_key); //注意：转换在递归删除右子树中minright如果右子树越大 //付出的代价就越大相当于重新查找了一遍 } delete del; return true; } } } Node* _FindR(Node* root, const K& key) { 
    if (root == nullptr) { 
    return nullptr; } else { 
    if (root->_key > key) { 
    return _FindR(root->_left, key); } else if (root->_key < key) { 
    return _FindR(root->_right, key); } else { 
    return root; } } } bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { 
    if (root == nullptr) { 
    root = new Node(key); return true; } else { 
    if (root->_key > key) { 
    return _InsertR(root->_left, key); } else if (root->_key < key) { 
    return _InsertR(root->_right, key); } else { 
    return false; } } } void _InOrder(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } Node* _root=nullptr; }; 

注：尽量使用循环来写，不要用递归。因为递归一方面每次调用函数都要建立栈帧，另一方面递归深度太深会导致栈溢出

二叉搜索树的应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
   比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
   
   

• 以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
• 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即
   
   的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文
   
   就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是
   
   就构成一种键值对。比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：
   
   
   

• <单词，中文含义>
  为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key
  
• 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key

K模型：

#pragma once #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include 
     using namespace std; //确定一个只是不是在集合中 namespace KEY { 
    template<class K> struct BSTreeNode { 
    BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) { 
   } BSTreeNode<K>* _left; BSTreeNode<K>* _right; K _key; }; template<class K> class BSTree { 
    typedef BSTreeNode<K> Node; public: // BSTree() = default; 强制编译器自动生成默认构造函数 BSTree() :_root(nullptr) { 
   } //也可写成 BSTree(const BSTree& t) BSTree(const BSTree<K>& t) { 
    _root = _Copy(t._root); } //BSTree 
   
     & operator=(BSTree t) 
    BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) { 
    swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { 
    _Destroy(_root); } bool Insert(const K& key) { 
    if (_root == nullptr) { 
    _root = new Node(key); return true; } //找出要插入的位置 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    return false; } } cur = new Node(key); if (parent->_key > key) { 
    parent->_left = cur; } else { 
    parent->_right = cur; } return true; } void InOrder() { 
    _InOrder(_root); cout << endl; } Node* Find(const K& key) { 
    Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    cur = cur->_right; } else { 
    return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { 
    Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    if (cur->_left == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_right; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_right; } else { 
    parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_left; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_left; } else { 
    parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { 
    //找右树最小节点去替代删除 Node* minrightparent = cur; Node* minright = cur->_right; while (minright->_left) { 
    minrightparent = minright; minright = minright->_left; } cur->_key = minright->_key; if (minrightparent->_left == minright) { 
    minrightparent->_left = minright->_right; } else { 
    minrightparent->_right = minright->_right; } delete minright; } return true; } } return false; } private: Node* _Copy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) return nullptr; Node* newnode = new Node(root->_key); newnode->_left = _Copy(root->_left); newnode->_right = _Copy(root->_right); return newnode; } void _Destroy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _Destroy(root->_left); _Destroy(root->_right); delete root; } void _InOrder(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } Node* _root = nullptr; }; } 

KV模型：

#pragma once #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include 
     using namespace std; namespace KEY_VALUE { 
    template<class K, class V> struct BSTreeNode { 
    BSTreeNode(const K& key, const V& value) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) , _value(value) { 
   } BSTreeNode<K,V>* _left; BSTreeNode<K,V>* _right; K _key; V _value; }; template<class K, class V> class BSTree { 
    typedef BSTreeNode<K, V> Node; public: // BSTree() = default; 强制编译器自动生成默认构造函数 BSTree() :_root(nullptr) { 
   } BSTree(const BSTree<K, V>& t) { 
    _root = _Copy(t._root); } BSTree<K,V>& operator=(BSTree<K, V> t) { 
    swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { 
    _Destroy(_root); } bool Insert(const K& key, const V& value) { 
    if (_root == nullptr) { 
    _root = new Node(key, value); return true; } //找出要插入的位置 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    return false; } } cur = new Node(key, value); if (parent->_key > key) { 
    parent->_left = cur; } else { 
    parent->_right = cur; } return true; } void InOrder() { 
    _InOrder(_root); cout << endl; } Node* Find(const K& key) { 
    Node* cur = _root; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    cur = cur->_right; } else { 
    return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { 
    Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { 
    if (cur->_key > key) { 
    parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { 
    parent = cur; cur = cur->_right; } else { 
    if (cur->_left == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_right; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_right; } else { 
    parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { 
    if (cur == _root) { 
    _root = cur->_left; } else { 
    if (parent->_left == cur) { 
    parent->_left = cur->_left; } else { 
    parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { 
    //找右树最小节点去替代删除 Node* minrightparent = cur; Node* minright = cur->_right; while (minright->_left) { 
    minrightparent = minright; minright = minright->_left; } cur->_key = minright->_key; if (minrightparent->_left == minright) { 
    minrightparent->_left = minright->_right; } else { 
    minrightparent->_right = minright->_right; } delete minright; } return true; } } return false; } private: Node* _Copy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) return nullptr; Node* newnode = new Node(root->_key, root->_value); newnode->_left = _Copy(root->_left); newnode->_right = _Copy(root->_right); return newnode; } void _Destroy(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _Destroy(root->_left); _Destroy(root->_right); delete root; } void _InOrder(Node* root) { 
    if (root == nullptr) { 
    return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << ":" << root->_value << endl; _InOrder(root->_right); } Node* _root = nullptr; }; } 

二叉搜索树的性能分析

• 插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
• 对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
• 但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树查找次数是logN；最差情况下，二叉搜索树查找次数是N