自动控制原理基础——拉普拉斯变换

由于自动控制研究的是动态过程，因此常常用微分方程来描述。非线性微分方程的求解十分困难，因此常常在正常工作点附近将非线性微分方程线性化来得到线性微分方程，再通过拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程进行求解。

在自控原理基础中，拉普拉斯变换（拉氏变换）作为一个工具，在大多数情况下不需要考虑数学意义上严谨的使用条件。在此不介绍具体知识，仅给出常用的拉氏变换对及性质。

拉普拉斯变换：

函数$f(t)$的拉氏变换： F ( s ) = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t = L { f ( t ) } F(s) = \int_{0_-}^\infty f(t)e^{-st}dt = \mathscr{L}\{f(t)\} F(s)=∫0−​∞​f(t)e−stdt=L{
f(t)}

函数$F(s)$的拉氏逆变换： f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s = L − 1 { F ( s ) }        t > 0 f(t)=\frac{1}{2\pi j} \int_{c -j\infty}^{c +j\infty}F(s)e^{st}ds=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}\ \ \ \ \ \ t>0 f(t)=2πj1​∫c−j∞c+j∞​F(s)estds=L−1{
F(s)}      t>0

注意此处有隐含要求：当 $t<0$ 时，$f(t)=0$.控制理论中涉及的时间函数 $f(t)$ 在时间为负时总是等于 $0$，因此采用的是单边拉普拉斯变换。有时积分下限设为 $0_{-}$ ，这是是为了处理有些时间函数在 $t=0$ 的点上不连续的情况。
在本篇中为描述方便，也记
L + { f ( t ) } = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t       ,       L − { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t \mathscr{L}_+\{f(t)\}=\int_{0_+}^{\infty}f(t)e^{-st}dt \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \mathscr{L}_-\{f(t)\}=\int_{0_-}^{\infty}f(t)e^{-st}dt L+​{
f(t)}=∫0+​∞​f(t)e−stdt     ,     L−​{
f(t)}=∫0−​∞​f(t)e−stdt

对于自控原理基础的内容，在一般的情况下很少需要通过定义来计算时间函数的拉氏变换，大多数情况下只需要根据常用的拉氏变换对以及性质计算即可。

常用拉氏变换对

常用性质

1. 线性定理
   若 L { f 1 ( t ) } = F 1 ( s )   ,   L { f 2 ( t ) } = F 2 ( s )   ,   α 、 β \mathscr{L}\{f_1(t)\}=F_1(s)\ ,\ \mathscr{L}\{f_2(t)\}=F_2(s)\ ,\ \alpha、\beta L{
   f1​(t)}=F1​(s) , L{
   f2​(t)}=F2​(s) , α、β 为常数，则有： L { α f 1 ( t ) ± β f 2 ( t ) } = α F 1 ( s ) ± β F 2 ( s ) \mathscr{L}\{\alpha f_1(t) \pm \beta f_2(t)\}=\alpha F_1(s) \pm \beta F_2(s) L{
   αf1​(t)±βf2​(t)}=αF1​(s)±βF2​(s)
   
2. 比例定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s )   , a \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)\ ,a L{
   f(t)}=F(s) ,a为常数，则有： L { f ( t a ) } = a F ( a s )    ,    L { f ( a t ) } = 1 a F ( s a ) \mathscr{L}\{f\left(\frac{t}{a}\right)\}=aF(as)\ \ ,\ \ \mathscr{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) L{
   f(at​)}=aF(as)  ,  L{
   f(at)}=a1​F(as​)
   
3. 时域平移定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s )   ,   τ \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)\ ,\ \tau L{
   f(t)}=F(s) , τ为正常数，将$f(t)$纯滞后$\tau$秒：$f(t-\tau )u(t-\tau )=\{\begin{array}{c}0t<\tau \\ f(t-\tau )t>\tau \end{array}$ ， 则有： L { f ( t − τ ) u ( t − τ ) } = e − τ s F ( s ) \mathscr{L}\{f(t-\tau)u(t-\tau)\}=e^{-\tau s}F(s) L{
   f(t−τ)u(t−τ)}=e−τsF(s)
   
4. 复域平移定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s )   ,   τ \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)\ ,\ \tau L{
   f(t)}=F(s) , τ为实数或负数 ，则有： L { e − τ t f ( t ) } = F ( s + τ ) \mathscr{L}\{e^{-\tau t}f(t)\}=F(s+\tau) L{
   e−τtf(t)}=F(s+τ)
   
5. 实微分定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
   f(t)}=F(s) ，$f(t)$的$1到n$阶导数分别存在，且其拉氏变换也都存在，则有：$${\mathcal{L}}_{\pm }\left\{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)\right\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{\pm })$$
   
6. 实积分定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
   f(t)}=F(s) ，则有多重积分的拉氏变换：$${\mathcal{L}}_{\pm }\left\{\int \dots \int f(t)(dt{)}^n\right\}=\frac{1}{s^n}F(s)+\sum _{k=1}^n\frac{1}{s^{n-k+1}}{\left[\int \dots \int f(t)(dt{)}^k\right]}_{t=0^{\pm }}$$多重定积分的拉氏变换：$$\mathcal{L}\left\{{\int }_{0^{\pm }}^t\dots {\int }_{0^{\pm }}^{t}f(t)(dt{)}^n\right\}=\frac{1}{s^n}F(s)$$
   
7. 复微分定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
   f(t)}=F(s) ，则除$F(s)$的极点外，有： L { t n f ( t ) } = ( − 1 ) n d n d s n F ( s ) \mathscr{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s) L{
   tnf(t)}=(−1)ndsndn​F(s)
   
8. 复积分定理
   若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
   f(t)}=F(s) ，则除$F(s)$的极点外，有：$$\mathcal{L}\left\{\frac{1}{t^n}f(t)\right\}={\int }_s^{\infty }\dots {\int }_s^{\infty }F(s)(ds{)}^n$$
   
9. 卷积定理
   函数$f_1(t)$与函数$f_2(t)$的卷积运算为：$$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_0^t{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )d\tau ={\int }_0^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau =f_2(t)\ast f_1(t)$$若 L { f 1 ( t ) } = F 1 ( s ) \mathscr{L}\{f_1(t)\}=F_1(s) L{
   f1​(t)}=F1​(s) ， L { f 2 ( t ) } = F 2 ( s ) \mathscr{L}\{f_2(t)\}=F_2(s) L{
   f2​(t)}=F2​(s) ，则有： L { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathscr{L}\{f_1(t)*f_2(t)\}=F_1(s)F_2(s) L{
   f1​(t)∗f2​(t)}=F1​(s)F2​(s)
   
10. 函数乘积的拉氏变换
    若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
    f(t)}=F(s) ， L { g ( t ) } = G ( s ) \mathscr{L}\{g(t)\}=G(s) L{
    g(t)}=G(s)，则有： L { f ( t ) g ( t ) } = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( p ) G ( s − p ) d p \mathscr{L}\{f(t)g(t)\}=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(p)G(s-p)dp L{
    f(t)g(t)}=2πj1​∫c−j∞c+j∞​F(p)G(s−p)dp
    
11. 终值定理
    若 L { f ( t ) } = F ( s ) \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) L{
    f(t)}=F(s) ，$sF(s)$的所有极点均位于左半开平面，则${\lim }_{t\to \infty }f(t)$存在，成立终值定理：$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=f(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }[sF(s)]$$
    
12. 初值定理
    若$f(t)、f^{{}^{\prime }}(t)$的拉氏变换存在、${\lim }_{s\to \infty }[sF(s)]$存在，则有初值定理：$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0^{+})=\underset{s\to \infty }{\lim }[sF(s)]$$
    

拉氏反变换

情况一：特征方程 $A(s)=0$ 无重根
在此情况下 $F(s)$ 可以展开成：$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{c_1}{s-s_1}+\cdot \cdot \cdot +\frac{c_{n-1}}{s-s_{n-1}}+\frac{c_n}{s-s_n}=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-s_i}i=1,\cdot \cdot \cdot ,n$$其中 $s_i$ 为特征方程 $A(s)=0$ 的第 $i$ 个单根，$c_i$ 为 $F(s)$ 在 $s_i$ 处的留数，其计算方法如下： c i = { ( s − s i ) F ( s ) } s = s i c_i=\left\{(s-s_i)F(s)\right\}_{s=s_i} ci​={
(s−si​)F(s)}s=si​​注意这里的 $c_i$ 可以为复数。

情况二：特征方程$A(s)=0$有重根
设 $A(s)$ 有 $r$ 重根 $s_1$ ,则在此情况下有：$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{B(s)}{(s-s_1{)}^r(s-s_{r+1})\cdot \cdot \cdot (s-s_n)}$$于是 $F(s)$ 可以展开成：$$F(s)=\frac{c_1}{s-s_1}+\cdot \cdot \cdot +\frac{c_r}{(s-s_1{)}^r}+\frac{c_{r+1}}{s-s_{r+1}}+\cdot \cdot +\frac{c_{n-1}}{s-s_{n-1}}+\frac{c_n}{s-s_n}=\sum _{j=1}^r\frac{c_j}{(s-s_1{)}^j}+\sum _{i=r+1}^n\frac{c_i}{s-s_i}$$其中 $j=1,\cdot \cdot \cdot ,r;i=r+1,\cdot \cdot \cdot ,n$

留数 $c_i$ 按照情况一中方法计算，留数 $c_j$ 的计算方法如下： c r = { ( s − s 1 ) r F ( s ) } s = s 1 c_r=\left\{(s-s_1)^rF(s)\right\}_{s=s_1} cr​={
(s−s1​)rF(s)}s=s1​​$$c_{r-1}={\left\{\frac{d}{ds}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]\right\}}_{s=s_1}$$$$c_{r-j}=\frac{1}{j!}{\left\{\frac{d^j}{d{s}^j}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]\right\}}_{s=s_1}$$$$c_1=\frac{1}{(r-1)!}{\left\{\frac{d^{r-1}}{d{s}^{r-1}}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]\right\}}_{s=s_1}$$注意这里的 $c_i、c_j$ 可以为复数。

以情况二为一般情况，可以得到 $F(s)$ 的拉式反变换为： f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = L − 1 { ∑ j = 1 r c j ( s − s 1 ) j + ∑ i = r + 1 n c i s − s i } f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\sum_{j=1}^r\frac{c_j}{(s-s_1)^j}+\sum_{i=r+1}^n\frac{c_i}{s-s_i}\right\} f(t)=L−1{
F(s)}=L−1{
j=1∑r​(s−s1​)jcj​​+i=r+1∑n​s−si​ci​​} f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = { c 1 + c 2 t + ⋅ ⋅ ⋅ + c r − 1 ( r − 2 ) ! t r − 2 + c r ( r − 1 ) ! t r − 1 } e s 1 t + ∑ i = r + 1 n c i e s i t f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=\left\{c_1+c_2t+···+\frac{c_{r-1}}{(r-2)!}t^{r-2}+\frac{c_r}{(r-1)!}t^{r-1}\right\}e^{s_1t}+\sum_{i=r+1}^nc_ie^{s_it} f(t)=L−1{
F(s)}={
c1​+c2​t+⋅⋅⋅+(r−2)!cr−1​​tr−2+(r−1)!cr​​tr−1}es1​t+i=r+1∑n​ci​esi​t

结语