目录：
一、极值点与驻点的“纠缠”
1.驻点不一定是极值点
2.极值点也不一定是驻点
3.可导函数的极值点必定是它的驻点
二、拐点和另两者的“牵扯”
1.
拐点的横坐标是
极值点
2.
可以即是极值点，又是拐点的横坐标么？
3.连续函数的驻点不是极值点就是拐点的横坐标么？
名字纯属瞎扯，这篇文章主要是总结一下驻点、极值点、拐点间的区别和联系。
一、极值点与驻点的“纠缠”
极值点和驻点容易搞混的一个重要原因，是我们高中用了太多
去求极值点，但其实看定义我们发现，极值点并非通过导数去定义的。驻点：给定函数
，若
，称
为驻点。
极值点：给定函数
，若对于一点
,存在的某一邻域
，使对于此邻域中的任意点
，都有
，称
是的极大值点；若都有
，则称
为极小值点。极大值点与极小值点统称为极值点。
如果我们直观从定义去看
驻点——它反映的是在可导的前提下，在
这一点，函数值
停止增加或减少。
极值点——它反映的是在
这一点的近旁的一个小范围内，
是最大值或最小值(在这个小范围内，函数图线是一个“峰”或“谷”)。
我们可以从以下三点去理解它们的区别与联系：
1.驻点不一定是极值点
驻点只反应你停止增加(减小)，不保证你接下来会减小(增加)。
例如
，0是驻点，但不是极值点。
2.极值点也不一定是驻点定理：(极值的必要条件)：若
是
的极值点，那么
只可能是
的零点或
的不可导点。
也就是说极值点还包含不可导的情况。
最常见的
，0是极值点，但由于不可导，所以不是驻点。
3.可导函数的极值点必定是它的驻点
前两条如果说是区别的话，这条算联系了。
把极值点中不可导的情况刨除掉，那极值点就必定是驻点，但反过来未必成立——可导函数的驻点不一定是极值点。
二、拐点和另两者的“牵扯”设函数
在点
的某邻域连续，若
是曲线
凹和凸的分界点，则称
为曲线
的拐点。
直观来看，拐点是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧和凸弧的分界点)。
拐点和驻点、极值点最明显的一个区别就是驻点和极值点都是横坐标
，而拐点是一个点
。所以我们接下来，我们主要讨论f(x)拐点的横坐标和f(x)的驻点、极值点的关系。
1.
拐点的横坐标是
极值点
我们比较一下求拐点的步骤和求极值点的步骤：
所以仅仅从做题的角度去看，我们可以这样理解：
拐点的横坐标是
极值点。
注：这里只是从做题步骤去推断，不是严格证明，倒不能保证不会有一些特别的函数是反例。
2.
可以即是极值点，又是拐点的横坐标么？
这个是要分情况讨论的。
①在可导的情况下——不可以
我们分二阶可导和一阶可导两种情况去看。
a.假设
二阶可导
若
即是极值点，又是拐点的横坐标。
则存在
， 对任意
因为是极值点(这里假设是极小值)，所以：
(1)
因为是拐点的横坐标，所以不妨：
(2)
注：极小值还是极大值，以及拐点左边是凹还是凸，对证明没有影响。
由(2)式我们知道，
是
的极小值点，但这和(1)是矛盾的——(1)式表明了在
内，
既不是
的极小值点，也不是极大值点(它在这个邻域内不是最大的，也不是最小的)。
所以，
不能既是极值点，又是拐点的横坐标。
b.假设
一阶可导
这时函数凹凸性的变化无法从二阶导数去表示，所以只能用凹凸性的等价定义——“曲线上割线斜率的单调性”来表示。(这里我们用上凸和下凸来避免因各个教材对于凹凸定义不同造成的阅读障碍)上凸：割线的斜率单调递减。
下凸：割线的斜率单调递增。
拐点就是凹凸性改变的点。
我们假定在x0左侧的割线的斜率单调递增(下凸)，在右侧的割线的斜率单调递减(上凸)。
当
时，有:
;
。
当
趋近于
时，即
时，有：
；
。
由此得到
，所以
即不能是极大值(与
矛盾)，也不能是极小值(与
矛盾)。 即不可能为极值点。
这变相证明了：如果驻点是拐点，它一定不是极值点。
所以两者不能同时取到。
②如果不可导——可以同时取到
例如：
是极值点，
是拐点。
是极值点，
是拐点。
所以可以同时取到。
3.连续函数的驻点不是极值点就是拐点的横坐标么？
我们在上文说明驻点不一定是极值点时，举了一个反例
，0是驻点，不是极值点，同时它也是拐点的横坐标。
如果接着看一些例子：
所以，是不是连续函数的驻点不是极值点就是拐点的横坐标呢？
我们做的习题基本上都是，但这样说是不准确的。
反例：
在这个函数里，
是驻点，但既不是极值点，也不是拐点的横坐标。
但不是三者之间没有这种关系，严格的说法应该是：定理：如果函数
在区间
内有连续的二阶导数，
是
的一个驻点，且满足
(1)在
的某去心邻域内，
保持恒大于零或恒小于零;
(2)在
的某邻域内
只有有限个零点;
则
是函数f(x)的拐点。
这个我们用的倒不多。
参考文献：
1.复旦大学数学系.数学分析：上册[M].3版
2. 郭卫霞.正确认识驻点、极值点与拐点[J].
3.朱志雄,杨树清.关于驻点与拐点的关系[J].
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