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前言
Ⅰ.首先介绍一些关于微分方程的概念
一阶是什么：
- 一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程。（注：
阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,如y”+xy=ysinx就是二阶微分方程了。)
线性是什么：
- 形如y’+p(x)y+q(x)=0，指的是微分方程简化后的每一项关于y、y’的指数为1。 （注：这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制，其中对于p(x)和q(x)并不做限制。形式如(y’)²+p(x)y+q(x)=0, y’+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程。）
齐次是什么：
- 常数项(即不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。
齐次微分方程是什么（不好理解）：
- 形如y’=f(y/x)， 换元后能为可分离变量方程的一类微分方程，其中 f 是已知的连续方程。 （简单地理解就是，
以y/x为自变量外面套了一层f()函数的微分方程，那么大概率它就是齐次微分方程！）
一阶线性微分方程是什么：
二阶常系数线性微分方程是什么：
- 形如
y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
Ⅱ.在考研范围内的微分方程有哪几类
在考研范围内的微分方程求解分为以下几类：
1.一阶微分方程的的求解
2.二阶可降阶微分方程的求解
3.高阶常系数线性微分方程的求解
Ⅲ.微分方程的求解方法
1.一阶微分方程的求解
①可分离变量型的解法
(1)能写成y’=f(x) * g(y)=>分离变量
解析：
(2)能写成y’=f(ax+by+c)=>令u=a+by+c=>u’=a+bf(u)=>分离变量.
解析：
注：这里需要注意的有两点，1：du/dx=1+dy/dx；2：∫1/(1+sinu)du的等价变形。
②齐次型的解法
能写成y’=f(y/x)或f(x/y) => 令y/x=u或x/y=u => 换元后分离变量。
解析：
③一阶线性型的解法（重难点）
A：形如：y’+p(x)y=q(x)， 这里有个问题是什么如何判定是一阶线性型？
第一步：整理归纳方程的组成部分。
很简单，就是你把所有的项都归类放好到一起，例如表达式中的成分有xy’，xy’’，2-2x3-sinx,x2y等等，分类归纳好之后，观察等式方程的组成部分。以一阶线性型为例，方程必须有y’，p(x)y, 以及q(x)。
第二步：整理归纳完成后，将方程调整为y’+p(x)y=q(x)。
第三步：采用公式法，得到通式。
解析：
注：这里无需讨论x^2^=1的情况，因为x=1，-1两点的y取值并不影响或者说成为y(0)=1的特解。
B：此外一阶线性型还有一种形式，形如：能写成y’+p(x)y=q(x)yn(n≠0,1)(术语：伯努利微分方程) =>令z=y1-n =>公式法（仅数学一）
伯努利方程的转换为一阶线性型的过程如下：
然后采用公式法求解该微分方程的通解即可。
解析：
注：这里为什么要对siny进行换元处理，观察方程的左边因为(siny)'=cosy * y'，而方程右边已经有siny，所以这里对siny换元后进行微分方程的化简。
2.二阶可降阶微分方程的求解
A：形如y’’=f(x,y’)，缺y => 令y’=p换元，y’’=p’ =>降阶求解。
解析：
注：对于p’(x+p2)=p的变形，考虑到不符合一阶线性以及齐次微分方程，分离变量也看不出来，所以采用整体的代换。将原式变形为pdx-xdp=p2dp，进一步化简成d(x/p)=dp。
B：形如y’’=f(y,y’)，缺x =>令y’=p换元，y’’=p·dp/dy =>降阶求解。
解析：
3.高阶常系数线性微分方程的求解
A：形如y”+py’+qy=f(x)，解法的步骤如下：
(1)写λ2+pλ+q=0=>λ1+λ2=>写齐次方程的通解：
(2)设特解y*=>代回方程，求待定系数=>特解：
1o：如果y”+py’+qy=eαx Pm (x)，设y*=eαx Q m (x) x k， k存在以下三种情况：
2o：如果y”+py’+qy=eαx [Pm (x) cosβx + P n (x)sinβx]，设y*=eαx [Q(1) L (x)cosβx+Q(2) L (x)sinβx ]x k，L=max{m,n}，k存在以下2种情况：
解析：
B：形如y’’+py’+qy=f1(x)+f2(x)，解法的步骤如下：
(1)写λ2+pλ+q=0=>λ1+λ2=>写齐次方程的通解：
(2)…=f1，写特解y1；…=f2，写特解y2
(3)故y1*+y2*为特解
C：形如x2y’’+pxy’+qy=f(x)，解法的步骤如下：
x>0,令x=et；x<0,令x=-et=>换元后求解
解析：
最后，你学会（废）了嘛？
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