什么是欧拉公式
欧拉公式是数学中一类非常重要的，能够把三角函数和复数联系在一起，并在我们需要的时候可以简化问题的数学工具。
欧拉公式的推导
如果你懂级数的概念，那么推导处欧拉公式是非常简单的。首先，我们用泰勒级数分别展开 e x e^x ex， sin x \sin x sinx 以及 cos x \cos x cosx
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! e^x=1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn
c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯
s i n ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots sin(x)=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
在 e x e^x ex中，将x替换为 j y jy jy，那么表达式就变为： e j y = 1 + j y 1 ! + ( j y ) 2 2 ! + ( j y ) 3 3 ! + ⋯ e^{jy} = 1 + \frac{jy}{1!} + \frac{(jy)^2}{2!} + \frac{(jy)^3}{3!} + \cdots ejy=1+1!jy+2!(jy)2+3!(jy)3+⋯其中， j j j代表虚数， j 2 = − 1 j^2 = -1 j2=−1，所以：
e j y = 1 + j y 1 ! − y 2 2 ! + ( j y ) 3 3 ! + y 4 4 ! + ⋯ e^{jy} = 1 + \frac{jy}{1!} – \frac{y^2}{2!} + \frac{(jy)^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + \cdots ejy=1+1!jy−2!y2+3!(jy)3+4!y4+⋯
然后调换一些项的顺序：
e j y = ( 1 − y 2 2 ! + y 4 4 ! + ⋯ ) + ( j y − j y 3 3 ! + j y 5 5 ! + ⋯ ) e^{jy}=(1- \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} + \cdots) + (jy – \frac{jy^3}{3!} + \frac{jy^5}{5!} + \cdots) ejy=(1−2!y2+4!y4+⋯)+(jy−3!jy3+5!jy5+⋯)
于是我们推导出欧拉公式：
e j y = c o s ( x ) + j ⋅ s i n ( x ) e^{jy} = cos(x) + j \cdot sin(x) ejy=cos(x)+j⋅sin(x)
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