文章写到这有点跑题。标题是连续函数，其实都在讲序列的连续性。可是，既然都写成这样子，也懒得管它了，干脆将错就错，继续在羊头下卖狗肉。
柯西收敛定理，是非常重要的定理。在泛函分析中，我们把这个定理当做是完备空间的公理来使用。一个满足柯西收敛定理的度量空间，我们称作是完备空间。而完备空间，是我们在泛函分析中研究函数连续性的基础。
首先定义柯西序列。
定义 我们说序列 { x m } ⊂ R n \{x_m\}\subset \mathbb{R}^n {
xm}⊂Rn是柯西序列，如果对任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0都存在正整数 N N N使得
∣ x l − x m ∣ < ϵ |x_l-x_m| < \epsilon ∣xl−xm∣<ϵ
对所有的 l , m ≥ N l,m\geq N l,m≥N成立。
很显然，任何收敛序列都是柯西序列。柯西收敛定理告诉我们，任何柯西序列都是收敛的。
定理（柯西收敛定理） 一个序列 { x m } \{x_m\} {
xm}收敛，当且仅当它是柯西序列。
证明 我们只证明充分性。为此，我们假设 { x m } \{x_m\} {
xm}是 R \mathbb{R} R上的序列。对于一般的 R n \mathbb{R}^n Rn上的序列，我们可以用分量连续的性质推广。
首先，证明序列 { x m } \{x_m\} {
xm}有界。为此，令 ϵ = 1 \epsilon = 1 ϵ=1，那么存在正整数 N 0 N_0 N0满足
∣ x l − x N 0 ∣ < 1 |x_l-x_{N_0}|<1 ∣xl−xN0∣<1
也即
∣ x l ∣ < ∣ x N 0 ∣ + 1 |x_l|<|x_{N_0}|+1 ∣xl∣<∣xN0∣+1
对所有的 l > N 0 l>N_0 l>N0成立。令 C = max { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , . . . , ∣ x N 0 − 1 ∣ , ∣ x N 0 + 1 ∣ } C=\max\{|x_1|,|x_2|,…,|x_{N_0-1}|,|x_{N_0}+1|\} C=max{
∣x1∣,∣x2∣,...,∣xN0−1∣,∣xN0+1∣}便有
∣ x m ∣ ≤ C |x_m|\leq C ∣xm∣≤C
对所有的 m m m成立。
最后，我们证明 lim x m = y \lim x_m = y limxm=y。对任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0存在正整数 N 0 N_0 N0满足
∣ x l − x m ∣ < ϵ / 3 |x_l-x_{m}|<\epsilon/3 ∣xl−xm∣<ϵ/3
对所有的 l , m ≥ N 0 l,m\geq N_0 l,m≥N0成立。存在正整数 N 1 ≥ N 0 N_1\geq N_0 N1≥N0满足
∣ y N 1 − y ∣ < ϵ / 3 。 |y_{N_1}-y|<\epsilon/3。 ∣yN1−y∣<ϵ/3。
由于 y N 1 = inf { x N 1 , x N 1 + 1 , x N 1 + 2 , . . . } y_{N_1}=\inf\{x_{N_1},x_{N_1+1},x_{N_1+2},…\} yN1=inf{
xN1,xN1+1,xN1+2,...}，故存在 N 2 ≥ N 1 N_2 \geq N_1 N2≥N1满足
y N 1 ≤ x N 2 < y N 1 + ϵ / 3 y_{N_1} \leq x_{N_2}
yN1≤xN2<yN1+ϵ/3
也即
∣ x N 2 − y N 1 ∣ < ϵ / 3 。 |x_{N_2}-y_{N_1}| < \epsilon/3。 ∣xN2−yN1∣<ϵ/3。
综上，对任意的 m > N 2 m>N_2 m>N2
∣ x m − y ∣ ≤ ∣ x m − x N 2 ∣ + ∣ x N 2 − y N 1 ∣ + ∣ y N 1 − y ∣ < ϵ 。 |x_m-y|\leq |x_m-x_{N_2}| + |x_{N_2}-y_{N_1}|+|y_{N_1}-y|<\epsilon。 ∣xm−y∣≤∣xm−xN2∣+∣xN2−yN1∣+∣yN1−y∣<ϵ。
证毕。
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/229911.html原文链接：https://javaforall.net
