9-4目录 李氏稳定性理论的简介 向量和矩阵的范数 矩阵范数 二次型函数及矩阵表示 二次型函数的定号性 正定的充要条件 判断定号性 两种方法证明正定 系统稳定分类 对象及其平衡状态 李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定 大范围(全局)渐近稳定性 不稳定 定理1 、2、3 分析系统渐近稳定 例题 李雅普诺夫第二方法简介 李雅普诺夫函数及稳定性定理 在原点渐近稳定 几何意义 例题 定理3 定理4 例题 例题 讨论 讨论续 线性系统稳定性分析 渐近稳定的充要条件 例题 例题续 MATLAB 离散系统李雅普诺夫稳定性 小结 解： 【例】 设系统状态方程如下，试分析其稳定性。 定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 是大范围一致渐进稳定 定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 我们通过下列MATLAB程序求P 矩阵： %LYAP example 4-3 A=[0 1;-1 -1]; A=A’; ％将A转置 Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A,Q) end 运行结果为：P = 1.5000 0.5000 0.5000 1.0000 MATLAB中有一个LYAP(A,Q)函数可以求出如下形式的李雅普诺夫方程： ????????????????????? ATP+PA=-Q 定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 Page: * 现代控制理论 Modern Control Theory 1.李雅普诺夫意义下的稳定性 2.李雅普诺夫第一法(间接法) 3.李雅普诺夫第二法(直接法) 4.线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性是一个控制系统工作的首要、必要条件。 经典控制理论判稳方法： 劳斯判据、根轨迹法、奈氏判据、对数频率判据: 适用范围：线性定常系统，不适用于非线性和时变系统。 描述函数法: 要求系统线性部分具有良好的滤波性能。 相平面法: 只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫(Lyapunov)提出的稳定性理论 不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变 系统,它是确定系统稳定性的更一般理论。 1、向量空间上的欧几里德范数(即向量长度) 其欧几里德范数定义为： 一般 一、向量和矩阵的范数 预备知识 矩阵 的范数定义为： 【例】 ， 则 即:矩阵每个元素平方和开根号 预备知识 2、矩阵范数 1．二次型函数：由n个变量 组成的二次齐次多项式，称(n元)二次型函数 2．二次型函数的矩阵表示 通常P为对称方阵 预备知识 二、二次型函数及矩阵表示 1)正定：若对于任何 ，总有 设二次型函数 2)正半定： 为正半定，P为正半定阵 (P≥0) 称 P称为负定阵，记作P<0 3) 负定：若 -V(x)正定，则称V(x)负定 4) 负半定： 预备知识 3．二次型函数的定号性 5) 不定：能找到 -x≠0，使 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 称其为不定 实二次型 是正定的充要条件是矩阵 的各顺序主子行列式均大于零， ， ，…， 则 正定，且称 为正定矩阵。 当矩阵 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 ， ，…， 则 负定，且称 为负定矩阵。 预备知识 【例】设X为二维向量，判其定号性。 1) 2) 3) 4) 5) 不定 半负定 负定 半正定 正定 【例】试用两种方法证明下列二次型函数式正定的？ 解： [方法一] 顺序主子式法： [方法二]：配方法 当 x≠0时，V(x)>0, 所以正定 一、系统稳定分类 1、外部稳定性： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的， 则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO(Bounded Input Bounded Output)稳定性) 线性定常连续系统 的传递函数矩阵为 当且仅当 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定(或BIBO稳定)的。 2、内部稳定性： 系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。 系统的稳定性都是相对平衡状态而言的。 李雅普诺夫稳定性 二、对象及其平衡状态 1、系统： 其解： 李氏稳定性问题就是研究系统在其平衡状态附近自由运动的行为特征。 2、自治系统： 没有外界输入作用的系统叫自治系统。 对于此无外加激励系统，能维持在某状态不再变化 即 则称 为该系统的一个平衡状态。 设系统状态方程为： 3、平衡状态： 李雅普诺夫稳定性 三、 李雅普诺夫意义下的稳定性定义 定义： 1.李雅普诺夫意义下的
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