基因转录调控网络推导方法——奇异值分解
奇异值分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，在信号处理和统计学等领域应用广泛。目前，奇异值分解已被广泛应用在大规模基因表达数据分析。例如Yeung等利用奇异值分解法在稀疏条件下重建了基因调控网络，实验证明该方法具有较高的准确性，而且具有较低的计算复杂度。
为了减少复杂度，这种方法只考虑了稳态情况下的调控关系，并用一个线性微分方程组(方程1)来表示：
d x i ( t ) d t = − λ i x i ( t ) + ∑ j = 1 n W i j x i ( t ) + b ( t ) + ξ i ( t ) , i = 1 , 2 , . . . n \frac{\mathrm{d} x_i(t)}{\mathrm{d} t} = -\lambda_i x_i(t)+\sum\nolimits_{j=1}^{n}{W_{ij} x_i(t)}+b(t)+\xi _i(t), i=1,2,…n dtdxi(t)=−λixi(t)+∑j=1nWijxi(t)+b(t)+ξi(t),i=1,2,...n
上式中， x i ( t ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) x_i(t)(i=1,2,…,n) xi(t)(i=1,2,...,n)反应了基因 i i i的表达水平； λ i \lambda_i λi是基因 i i i的自我降解率； b ( t ) b(t) b(t)是外部因素; ξ i ( t ) \xi_i(t) ξi(t)是噪声； W i j W_{ij} Wij是调控矩阵元素，表示基因 j j j对基因 i i i的调控类型和调控强度，正数表示激活，负数表示降解，零表示没有调控关系。
在外部刺激条件 ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) T (b_1,b_2,…,b_n)^T (b1,b2,...,bn)T干扰下，n个不同基因的表达量分别记为 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T (x_1,x_2,…,x_n)^T (x1,x2,...,xn)T：
X = ( x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) . . . x 1 ( m ) x 2 ( 1 ) x 2 ( 2 ) . . . x 2 ( m ) . . . . . . . . . . . . x n ( 1 ) x n ( 2 ) . . . x n ( m ) ) X = \begin{pmatrix} x_1(1) &x_1(2) &… &x_1(m) \\ x_2(1) &x_2(2) &… &x_2(m) \\ … &… &… &… \\ x_n(1) &x_n(2) &… &x_n(m) \end{pmatrix} X=⎝⎜⎜⎛x1(1)x2(1)...xn(1)x1(2)x2(2)...xn(2)............x1(m)x2(m)...xn(m)⎠⎟⎟⎞
上式中， x i ( j ) x_i(j) xi(j)表示在第 j j j个样本（干扰）中第 i i i个基因的表达。
通过奇异值分解，我们可以把 X T X^T XT分解为 X T = U E V T X^T=UEV^T XT=UEVT，其中 U U U是一个左特征向量的 m × n m\times n m×n阶酉矩阵， E = d i a g ( e 1 , e 2 , . . . , e n ) E=diag(e_1,e_2,…,e_n) E=diag(e1,e2,...,en)是包含n个特征值的n×n阶主对角线矩阵， V T V^T VT是右特征向量的n×n阶酉矩阵，我们可以得到方程的解(方程4)：
J ^ = ( X ˇ − B ) U E − 1 V T \hat{J} = (\check{X}-B ) UE^{-1}V^T J^=(Xˇ−B)UE−1VT
式中， E − 1 = d i a g ( 1 / e i ) E^{-1}=diag(1/e_i) E−1=diag(1/ei)，如果 e i = 0 e_i=0 ei=0，则令 1 / e i = 0 1/e_i=0 1/ei=0。所以可以得到方程的一般相互关系矩阵解 J = [ J i j ] n × n J=[J_{ij}]_{n\times n} J=[Jij]n×n，即（方程5）：
J = ( X ˇ − B ) U E − 1 V T + Y V T = J ^ + Y V T J=(\check{X}-B)UE^{-1}V^T+YV^T=\hat{J}+YV^T J=(Xˇ−B)UE−1VT+YVT=J^+YVT
式中， Y = [ y i j ] n × n Y=[y_{ij}]_{n\times n} Y=[yij]n×n是一个n×n阶矩阵，若 e i ≠ 0 e_i \ne 0 ei=0，则 y i j = 0 y_{ij}=0 yij=0；若 e i = 0 e_i = 0 ei=0，则 y i j y_{ij} yij为任意常数。每个J代表一个依赖于Y与芯片数据的网络。
由于奇异值分解会导致非唯一解，这就需要一定的约束从所有解之中分离出真正的解。由于真正的基因调控网络通常是稀疏的，就是说每个基因一般只与所有基因中的一小部分基因相互作用，因此稀疏性是合理的约束条件。Yeung等基于此点利用优化方法使J的 L 1 L_1 L1值最小，即（方程6）：
min Y ∣ J ^ + Y V T ∣ \min_{Y}|\hat{J}+YV^T| Ymin∣J^+YVT∣
Yeung等在文献中通过多个实验证明，奇异值分解方法推出的基因调控网络具有较高的准确性，但是需要注意的是，这种方法只适合基因调控网络的线性模型。
import numpy as np from sklearn.datasets import load_breast_cancer cancer = load_breast_cancer() data, label = cancer.data, cancer.target U, Sigma, V = np.linalg.svd(data) 矩阵近似值
奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），它是一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”，它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。
数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。
正交矩阵
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，
这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复
数的矩阵这导致了归一要求。注意正交矩阵的定义：n阶‘实矩阵’ A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，
A’表示“矩阵A的转置矩阵”。） 若A为正交阵，则下列诸条件是等价的:
- A 是正交矩阵
- A×A′=E（E为单位矩阵）
- A′是正交矩阵
- A的各行是单位向量且两两正交
- A的各列是单位向量且两两正交
- (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
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