【转录调控网络】典型的基因转录调控网络推导方法——奇异值分解

全栈程序员-站长 • 2025年7月26日上午9:15 • 未分类 • 阅读 5

基因转录调控网络推导方法——奇异值分解

奇异值分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，在信号处理和统计学等领域应用广泛。目前，奇异值分解已被广泛应用在大规模基因表达数据分析。例如Yeung等利用奇异值分解法在稀疏条件下重建了基因调控网络，实验证明该方法具有较高的准确性，而且具有较低的计算复杂度。

为了减少复杂度，这种方法只考虑了稳态情况下的调控关系，并用一个线性微分方程组(方程1)来表示：
$\frac{\mathrm{d} x_i(t)}{\mathrm{d} t} = -\lambda_i x_i(t)+\sum\nolimits_{j=1}^{n}{W_{ij} x_i(t)}+b(t)+\xi _i(t), i=1,2,…n$
上式中， $x_i(t)(i=1,2,…,n)$ 反应了基因 $i$ 的表达水平； $\lambda_i$ 是基因 $i$ 的自我降解率； $b (t)$ 是外部因素; $\xi_i(t)$ 是噪声； $W_{ij}$ 是调控矩阵元素，表示基因 $j$ 对基因 $i$ 的调控类型和调控强度，正数表示激活，负数表示降解，零表示没有调控关系。

在外部刺激条件 $b_1,b_2,…,b_n)^T$ 干扰下，n个不同基因的表达量分别记为 $x_1,x_2,…,x_n)^T$ ：
$\begin{pmatrix} x_1(1) &x_1(2) &… &x_1(m) \\ x_2(1) &x_2(2) &… &x_2(m) \\ … &… &… &… \\ x_n(1) &x_n(2) &… &x_n(m) \end{pmatrix}$
上式中， $x_i(j)$ 表示在第 $j$ 个样本（干扰）中第 $i$ 个基因的表达。

通过奇异值分解，我们可以把 $X^T$ 分解为 $X^T=UEV^T$ ，其中 $U$ 是一个左特征向量的 $m\times n$ 阶酉矩阵， $E=diag(e_1,e_2,…,e_n)$ 是包含n个特征值的n×n阶主对角线矩阵， $V^T$ 是右特征向量的n×n阶酉矩阵，我们可以得到方程的解(方程4)：
$\hat{J} = (\check{X}-B ) UE^{-1}V^T$
式中， $E^{-1}=diag(1/e_i)$ ，如果 $e_i=0$ ，则令 $1/e_i=0$ 。所以可以得到方程的一般相互关系矩阵解 $J=[J_{ij}]_{n\times n}$ ，即（方程5）：
$J=(\check{X}-B)UE^{-1}V^T+YV^T=\hat{J}+YV^T$
式中， $Y=[y_{ij}]_{n\times n}$ 是一个n×n阶矩阵，若 $e_i \ne 0$ ，则 $y_{ij}=0$ ；若 $e_i = 0$ ，则 $y_{ij}$ 为任意常数。每个J代表一个依赖于Y与芯片数据的网络。

由于奇异值分解会导致非唯一解，这就需要一定的约束从所有解之中分离出真正的解。由于真正的基因调控网络通常是稀疏的，就是说每个基因一般只与所有基因中的一小部分基因相互作用，因此稀疏性是合理的约束条件。Yeung等基于此点利用优化方法使J的 $L_1$ 值最小，即（方程6）：
$\min_{Y}|\hat{J}+YV^T|$

Yeung等在文献中通过多个实验证明，奇异值分解方法推出的基因调控网络具有较高的准确性，但是需要注意的是，这种方法只适合基因调控网络的线性模型。

import numpy as np from sklearn.datasets import load_breast_cancer cancer = load_breast_cancer() data, label = cancer.data, cancer.target U, Sigma, V = np.linalg.svd(data)

矩阵近似值
奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），它是一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”，它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。
数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。

正交矩阵
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，
这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复
数的矩阵这导致了归一要求。注意正交矩阵的定义：n阶‘实矩阵’ A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，
A’表示“矩阵A的转置矩阵”。）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的: