U 检验

U 检验也叫 Z 检验，指检验统计量服从方差已知的正态分布的假设检验。

单样本 U 检验

U 检验也叫 Z 检验，定义为：检验的检验统计量 Z 由：
$$Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{\sigma }$$
求出，其中 $n$ 为样本容量，${\mu }_0$ 是通过假设知晓的常数，$\sigma$ 为总体的标准差。

中心极限定理：

多个样本和的标准化，在
$n\to \infty$ 的情况下服从正态分布。一般的，当
$n>30$ 时，可以视为正态分布，采用 U 检验

有精确估计：

很多情况下
$\sigma$ 本质上都是测量而来，是一种精确的估计。因此，若
$\sigma$ 未知，若能够保证精确度，也可以用估计值，样本标准差
$S$ 代替。一般需要
$n>50$。

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应用条件

根据定义：

$$\begin{array}{rlrl}& & & \text{前提}:\\ & & & 样本i.i.d，且分布等于总体分布\\ & & & \\ & & & 1.Z服从正态分布，且分布的\sigma 已知\\ & & & \text{或}:\\ & & & 2.样本容量n>30，且分布\sigma 已知\\ & & & \text{或}:\\ & & & 3.样本容量n>50\end{array}$$

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应用过程

设总体 X 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu$ 未知，$\sigma$ 已知。现从总体中抽出 $n$ 个 $i.i.d$ 的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，共同的分布为总体分布。

1°

对于第一种假设，原假设取值为一个点，备选假设取值为两边，这类假设对应的检验，也叫双边检验。根据定义，检验统计量为：
$$Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{\sigma }$$
根据样本的性质，可知 $\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$ ，于是 $Z\sim N(\frac{\sqrt{n}(\mu -{\mu }_0)}{\sigma },1)$。

根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ ∣ Z ∣ ↑ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 令 ： P { ∣ Z = n ( X ˉ − μ 0 ) σ ∣ > C ∣ H 0 } ≤ α 在 原 假 设 和 成 立 时 ， X ˉ ∼ N ( μ 0 , σ 2 / n ) ， Z ∼ N ( 0 , 1 ) ⇓ C = u α / 2 , u 1 − α / 2 ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 Z ∈ ( − ∞ , u α / 2 ) ∪ ( u 1 − α / 2 , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because |Z|\uarr ,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 令：P\{\vert Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma}\vert>C|H_0\}\leq \alpha \\ \\ 在原假设和成立时，\bar{X}\sim N(\mu_0,\sigma^2/n)，Z\sim N(0,1)\\ \Darr\\ C=u_{\alpha/2},u_{1-\alpha/2}\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 Z\in(-\infin,u_{\alpha/2})\cup(u_{1-\alpha/2},+\infin) 给定显著水平α，∵∣Z∣↑,H0​越难成立，⇓令：P{
∣Z=σn
​(Xˉ−μ0​)​∣>C∣H0​}≤α在原假设和成立时，Xˉ∼N(μ0​,σ2/n)，Z∼N(0,1)⇓C=uα/2​,u1−α/2​⇓求得拒绝域为Z∈(−∞,uα/2​)∪(u1−α/2​,+∞)
故只要求出检验统计量的观察值，根据拒绝域做出判断即可。

注意，检验是否属于双边，不是由拒绝域是否双边决定的，而是由假设决定，下文读者将会体会到其中的差异。

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2°

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3°

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实验设计

在进行采样时，通常需要事前确定 $n$。

以 2° 为例，给定显著水平 $\alpha$，$\because Z\uparrow ,H_0$ 越难成立，$\therefore$ 设定检验标准（拒绝）为：$Z>C$。

定义势函数为：
p ( μ ) = P { Z > C ∣ μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) } = P { n ( X ˉ − μ ) σ ≥ C + n ( μ 0 − μ ) σ ∣ μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) } ∵    n ( X ˉ − μ ) σ ∼ N ( 0 , 1 ) = 1 − Φ ( C + n ( μ 0 − μ ) σ ) \begin{aligned} p(\mu)&=P\{ Z > C| \mu\in(-\infin,\infin)\} \\ &= P\{ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \geq C+\frac{\sqrt{n}(\mu_0-\mu)}{\sigma}| \mu\in(-\infin,\infin)\} \\ \because ~~&\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)\\ &=1-\Phi(C+\frac{\sqrt{n}(\mu_0-\mu)}{\sigma}) \end{aligned} p(μ)∵  ​=P{
Z>C∣μ∈(−∞,∞)}=P{
σn
​(Xˉ−μ)​≥C+σn
​(μ0​−μ)​∣μ∈(−∞,∞)}σn
​(Xˉ−μ)​∼N(0,1)=1−Φ(C+σn
​(μ0​−μ)​)​
取 $\alpha$，则根据检验标准的临界值求取法则，有：
s u p μ { 1 − Φ ( C + n ( μ 0 − μ ) σ ) ∣ μ ∈ ( − ∞ , μ 0 ) } < = α \underset{\mu}{sup} \{1-\Phi(C+\frac{\sqrt{n}(\mu_0-\mu)}{\sigma})|\mu\in(-\infin,\mu_0)\} <= \alpha μsup​{
1−Φ(C+σn
​(μ0​−μ)​)∣μ∈(−∞,μ0​)}<=α
最后得到检验标准的临界值 $C=u_{1-\alpha }$

1. 势函数是 $\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{\sigma }$ 的函数，且是连续的、非减的。
2. $$\begin{gathered} \underset{\mu \to {\mu }_0}{\lim }\Phi (u_{1-\alpha }+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{\sigma })=\alpha \\ \underset{\mu \to +\infty }{\lim }\Phi (u_{1-\alpha }+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{\sigma })=1 \end{gathered}$$

设无差别区域为 $\mu \in ({\mu }_0,\Delta )$，则对于 $[\Delta ,+\infty ]$，给定一个 $\beta$，使得 $p(\mu )\ge 1-\beta$。由于势函数是非减的，故问题转换为临界问题：
$$\begin{array}{r}p(\mu )=1-\Phi (u_{1-\alpha }+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{\sigma })=1-\beta \\ \Phi (u_{1-\alpha }+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{\sigma })=\beta \end{array}$$
从而得出适当的 $n,\sigma$ ，前者对应采样容量，后者是在测量问题上，可考虑提高测量精度。

其中，$\beta$ 是当备选假设成立时，原假设被错误地接受的概率的临界值。

通过 $\beta ,\alpha ,\Delta$，即可知道我们进行试验设计，得出适当的 $n$ 。

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双样本 U 检验

同单样本 U 检验，其应用条件亦需要 Z 服从正态分布，且分布的方差已知。当然，在大样本情况下，亦可以将 Z 视为正态分布，并用样本方差估计 $\sigma$。

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应用条件

应用条件

应用过程

设总体 $X_1,X_2$ 服从正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知，${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 已知。现从总体中抽出 $n$ 个独立同分布的样品 $X_1^{(1)},X_2^{(1)},\cdots ,X_n^{(1)}；X_1^{(2)},X_2^{(2)},\cdots ,X_n^{(2)}$。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=d{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne d$
$2^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le d{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2>d$
$3^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge d{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2<d$

1°

对比单边检验，可以看到临界值 $C$ 是相同的，以 $d_0=0$ 为例：

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2°

给 定 显 著 水 平 α ， ∵ Z ↑ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 令 ： P { Z > C ∣ H 0 } ≤ α   P { X 1 ˉ − X 2 ˉ − d 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 > C ∣ d ≤ d 0 } ≤ α ⇓ P { X 1 ˉ − X 2 ˉ − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 > C + d 0 − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∣ d ≤ d 0 } ⇓ ∵ d 0 − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 随 着 d ↑ 单 调 递 增   ∴ d = d 0 时 ， P { X 1 ˉ − X 2 ˉ − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 > C + d 0 − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∣ d ≤ d 0 } 最 大 ⇓ 此 时 X 1 ˉ − X 2 ˉ − d σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) ⇓ C = u 1 − α ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 Z ∈ ( u 1 − α , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because Z\uarr,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 令：P\{ Z>C|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ P\{\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}-d_0} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}>C|d\leq d_0\}\leq \alpha \\ \Darr \\ P\{\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}-d} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}>C+\frac{d_0-d}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}|d\leq d_0\}\\ \Darr\\ \because \frac{d_0-d}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}随着d\uarr 单调递增\\ ~\\ \therefore d=d_0时， P\{\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}-d} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}>C+\frac{d_0-d}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}|d\leq d_0\}最大\\ \Darr\\ 此时\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}-d} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)\\ \Darr\\ C=u_{1-\alpha}\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 Z\in(u_{1-\alpha},+\infin) 给定显著水平α，∵Z↑,H0​越难成立，⇓令：P{
Z>C∣H0​}≤α P{
n1​σ12​​+n2​σ22​​
​X1​ˉ​−X2​ˉ​−d0​​>C∣d≤d0​}≤α⇓P{
n1​σ12​​+n2​σ22​​
​X1​ˉ​−X2​ˉ​−d​>C+n1​σ12​​+n2​σ22​​
​d0​−d​∣d≤d0​}⇓∵n1​σ12​​+n2​σ22​​
​d0​−d​随着d↑单调递增 ∴d=d0​时，P{
n1​σ12​​+n2​σ22​​
​X1​ˉ​−X2​ˉ​−d​>C+n1​σ12​​+n2​σ22​​
​d0​−d​∣d≤d0​}最大⇓此时n1​σ12​​+n2​σ22​​
​X1​ˉ​−X2​ˉ​−d​∼N(0,1)⇓C=u1−α​⇓求得拒绝域为Z∈(u1−α​,+∞)

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3°

同 2°，可以得出拒绝域为：$Z\in (-\infty ,u_{\alpha })$

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附录

中心极限定理

Lindeberg–Lévy 极限定理：

设
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是一组独立同分布的随机变量序列，其中
$E(X_i)=\mu ,Var(X_i)={\sigma }^2$，则统计量
$\sqrt{n}(\overline{X_i}-\mu )$ 在
$n\to \infty$ 时，收敛于正态分布，记为：

$$\sqrt{n}(\overline{X_i}-\mu )\stackrel{p}{\to }N(0,{\sigma }^2)$$

若
$\sigma >0$ ，则：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\mathcal{P}r\left[\sqrt{n}\left({\bar{X}}_n-\mu \right)\le z\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathcal{P}r\left[\frac{\sqrt{n}\left({\bar{X}}_n-\mu \right)}{\sigma }\le \frac{z}{\sigma }\right]=\Phi \left(\frac{z}{\sigma }\right)$$
其中 $\Phi (\frac{z}{\sigma })$ 是标准正态分布，在取值为 $z/\sigma$ 的概率。

上式告诉我们，在样本容量达到一定数目时，U 检验的检验统计量 Z 是可以视为服从正态分布的。

不仅如此，实际上，样本均值的标准化，都收敛于正态分布。当标准差大于 0 时，可以用正态分布来估计。

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假设检验一般步骤

1. 制定原假设、备选假设
2. 制定检验统计量
3. 取显著水平$\alpha$，得出接受域、拒绝域
4. [取 $\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 判断检验统计量的观察值，所处的域，决定是否接受原假设

4. [取 $\alpha ,\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 根据检验统计量的观察值，求出其 p-值，并据此做出决策

势函数

势函数是包含了所有检验下，犯第一类错误的概率，和识别备选假设的能力。

详见博文：假设检验

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Technical Note

推荐资源

• 上海市教育委员会，叶慈南，曹伟丽《应用数理统计》，机械工业出版社，2007年1月第一版，第二次印刷（P112~114）
• 陈希孺 《概率论与数理统计》，中国科学技术大学出版社，2015年8月第一版，第7次印刷（P200~204）
• 统计王国网站
• 维基百科——Z检验
• 统计方案网站

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