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一、转置卷积的背景
通常，对图像进行多次卷积运算后，特征图的尺寸会不断缩小。而对于某些特定任务 (如 图像分割 和 图像生成 等)，需将图像恢复到原尺寸再操作。这个将图像由小分辨率映射到大分辨率的尺寸恢复操作，叫做 上采样 (Upsample)，如下图所示：
上采样方法有很多，详见《【图像处理】详解 最近邻插值、线性插值、双线性插值、双三次插值_闻韶-CSDN博客》。然而，这些上采样方法都是基于人们的先验经验来设计的，在很多场景中效果并不理想 (如 规则固定、不可学习)。因此，我们希望神经网络自己学习如何更好地插值，即接下来要介绍的 转置卷积。
二、转置卷积的应用
曾经，转置卷积也被称为 反卷积 (Deconvolution)。与传统的上采样方法相比，转置卷积的上采样方式并非预设的插值方法，而是同标准卷积一样，具有可学习的参数，可通过网络学习来获取最优的上采样方式。
转置卷积在某些特定领域具有广泛应用，比如：
- 在 DCGAN[1]，生成器将随机值转变为一个全尺寸图片，此时需用到转置卷积。
- 在语义分割中，会在编码器中用卷积层提取特征，然后在解码器中恢复原先尺寸，从而对原图中的每个像素分类。该过程同样需用转置卷积。经典方法有 FCN[2] 和 U-net[3]。
- CNN 可视化[4]：通过转置卷积将 CNN 的特征图还原到像素空间，以观察特定特征图对哪些模式的图像敏感。
三、转置卷积的区别
标准卷积的运算操作 其实是对卷积核中的元素 与输入矩阵上对应位置的元素 进行逐像素的乘积并求和。然后，卷积核在输入矩阵上以步长为单位进行滑动，直到遍历完输入矩阵的所有位置。
假设，输入是一个 4×4 矩阵，使用 3×3 的标准卷积进行计算，同时令 padding=0，stride=1。最终输出结果应是一个 2×2 矩阵，如图 2 所示：
在上例中，输入矩阵右上角 3×3 范围的值 (黄色 2 3 4) 会影响 输出矩阵右上角的值 (黄色 27)，这其实也对应了标准卷积中感受野的概念。所以，可以说 3×3 标准卷积核 建立了 输入矩阵中 9 个值 到 输出矩阵中 1 个值 的映射关系。
综上所述，我们也就可以认为标准卷积操作实际上就是建立了一个 多对一的映射关系。
对转置卷积而言，我们实际上是想建立一个逆向操作，即 一对多的映射关系。对于上例，我们想要建立的其实是输出矩阵中的 1 个值与输入矩阵中的 9 个值的关系，如图 3 所示：
当然，从信息论的角度上看，常规卷积操作是不可逆的，所以转置卷积并不是通过输出矩阵和卷积核计算原始输入矩阵，而是计算得到保持了相对位置关系的矩阵。
四、转置卷积的推导
定义一个 4×4 输入矩阵 input：
再定义一个 3×3 标准卷积核 kernel：
设 步长 stride=1、填充 padding=0，则按 “valid” 卷积模式，可得 2×2 输出矩阵 output：
这里，换一个表达方式，将输入矩阵 input 和输出矩阵 output 展开成 16×1 列向量 X 和 4×1 列向量 Y，可分别表示为：
接着，再用矩阵运算来描述标准卷积运算，设有 新卷积核矩阵 C：
经推导 (卷积运算关系)，可得 4×16 稀疏矩阵 C：
以下，用图 4 展示矩阵运算过程：
而转置卷积其实就是要对这个过程进行逆运算，即 通过 C 和 Y 得到 X：
此时，即为新的 16×4 稀疏矩阵。以下通过图 5 展示转置后的卷积矩阵运算。此处，用于转置卷积的权重矩阵 不一定来自于原卷积矩阵 (通常不会如此恰巧)，但其形状和原卷积矩阵 的转置相同。
最后，将 16×1 的输出结果重新排序，即可通过 2×2 输入矩阵得到 4×4 输出矩阵。
五、转置卷积的输出
5.1 stride = 1
同样，使用上文中的 3×3 卷积核矩阵 C：
输出矩阵 output 仍为：
将输出矩阵展开为 列向量 Y：
带入到上文中的转置卷积计算公式，则转置卷积的计算结果为：
这其实等价于 先填充 padding=2 的输入矩阵 input：
然后，转置标准卷积核 kernel：
最后，在 填零的输入矩阵 input 上使用 经转置的标准卷积核 kernel 执行 标准卷积运算，如图 6 所示：
更一般地，对于卷积核尺寸 kernel size = ，步长 stride = = 1，填充 padding = = 0 的转置卷积，其 等价的标准卷积 在原尺寸为 的输入矩阵上进行运算，输出特征图的尺寸 为：
同时，等价的标准卷积的的输入矩阵 input 在卷积运算前，需先进行 padding’ = 的填充，得到尺寸 。
因此，实际上原计算公式为 (等价的标准卷积的步长 )：
5.2 stride > 1 ☆
在实际中，我们大多数时候会使用 stride>1 的转置卷积，从而获得较大的上采样倍率。
以下，令输入尺寸为 5×5，标准卷积核同上 kernel size = = 3，步长 stride = = 2，填充 padding = = 0，标准卷积运算后，输出矩阵尺寸为 2×2：
此处，转换后的稀疏矩阵尺寸变为 25×4，由于矩阵太大这里不展开进行罗列。最终转置卷积的结果为：
此时，等价于 输入矩阵同时添加了 空洞 和 填充，再由仅转置的标准卷积核进行运算，过程如图 7 所示：
更一般地，对于卷积核尺寸 kernel size = ，步长 stride = > 1，填充 padding = = 0 的转置卷积，其 等价的标准卷积 在原尺寸为 的输入矩阵上进行运算，输出特征图的尺寸 为：
同时，等价的标准卷积的输入矩阵 input 在卷积运算前，需先进行 padding’ = 的填充；然后，相邻元素间的空洞数为 ，共有 组空洞需插入；从而，实际尺寸为 。
因此，实际上原计算公式为 (等价的标准卷积的步长 )：
可见，通过控制步长 stride = 的大小可以控制上采样的倍率，而该参数类比于膨胀/空洞卷积的 膨胀率/空洞数。
六、小结
注意：矩阵中的实际权值不一定来自原始卷积矩阵。重要的是权重的排布是由卷积矩阵的转置得来的。转置卷积运算与普通卷积形成相同的连通性，但方向是反向的。
我们可以用转置卷积来上采样，而 转置卷积的权值是可学习的，所以无需一个预定义的插值方法。
尽管它被称为转置卷积，但这并不意味着我们取某个已有的卷积矩阵并使用转置后的版本。重点是，与标准卷积矩阵 (一对多关联而不是多对一关联) 相比，输入和输出之间的关联是以反向的方式处理的
因此，转置卷积不是卷积，但可以用卷积来模拟转置卷积。通过在输入矩阵的值间插入零值 (以及周围填零) 上采样输入矩阵，然后进行常规卷积 就会产生 与转置卷积相同的效果。你可能会发现一些文章用这种方式解释了转置卷积。但是，由于需要在常规卷积前对输入进行上采样，所以效率较低。
注意：转置卷积会导致生成图像中出现 网格/棋盘效应 (checkerboard artifacts)，因此后续也存在许多针对该问题的改进工作。
参考资料：
https://towardsdatascience.com/up-sampling-with-transposed-convolution-9ae4f2df52d0
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