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Eigen库使用指南

1.模块和头文件

• Core #include<Eigen/Core>，包含Matrix和Array类，基础的线性代数运算和数组操作。
• Geometry #include<Eigen/Geometry>，包含旋转，平移，缩放，2维和3维的各种变换。
• LU #include<Eigen/LU>，包含求逆，行列式，LU分解。
• Cholesky #include<Eigen/Cholesky>，包含LLT和LDLT Cholesky分解。
• SVD `#include<Eigen/SVD>，包含SVD分解。
• QR `#include<Eigen/QR>，包含QR分解。
• Eigenvalues #include<Eigen/Eigenvalues>，包含特征值，特征向量分解。
• Sparse #include<Eigen/Sparse>，包含稀疏矩阵的存储和运算。
• Dense #include<Eigen/Dense>，包含了Core/Geometry/LU/Cholesky/SVD/QR/Eigenvalues模块。
• Eigen #include<Eigen/Eigen>，包含Dense和Sparse。

2. Matrix类

• 所有矩阵和向量都是Matrix模板类的对象，Matrix类有6个模板参数，主要使用前三个，剩下的使用默认值。

Matrix<typename Scalar, 
       int RowsAtCompileTime, 
       int ColsAtCompileTime,
       int Options = 0,
       int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
       int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>
# Scalar 元素类型
# RowsAtCompileTime 行
# ColsAtCompileTime 列
# 例 typedef Matrix<int, 3, 3> Matrix3i;
# Options 比特标志位
# MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime表示在编译阶段矩阵的上限。

# 列向量
typedef Matrix<double, 3, 1> Vector3d;
# 行向量
typedef Matrix<float, 1, 3> RowVector3f;

# 动态大小
typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;
typedef Matrix<float, Dynamic, 1> VectorXf;
type

• 默认构造时，指定大小的矩阵，只分配相应大小的空间，不进行初始化。动态大小的矩阵，则未分配空间。
• []操作符可以用于向量元素的获取，但不能用于matrix。
• matrix的大小可以通过rows(), cols(), size()获取，resize()可以重新调整矩阵大小。

3. 矩阵与向量的运算

• Eigen不支持类型自动转化，因此矩阵元素类型必须相同。
• 支持+, -, +=, -=, *, /, *=, /=基础四则运算。
• 转置和共轭

MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(3,3);
a.transpose();  # 转置
a.conjugate();  # 共轭
a.adjoint();       # 共轭转置（伴随矩阵）
# 对于实数矩阵，conjugate不执行任何操作，adjoint等价于transpose
a.transposeInPlace() #原地转置

Vector3d v(1,2,3);
Vector3d w(4,5,6);
v.dot(w);    # 点积
v.cross(w);  # 叉积

Matrix2d a;
a << 1, 2, 3, 4;
a.sum();      # 所有元素求和
a.prod();      # 所有元素乘积
a.mean();    # 所有元素求平均
a.minCoeff();    # 所有元素中最小元素
a.maxCoeff();   # 所有元素中最大元素
a.trace();      # 迹，对角元素的和
# minCoeff和maxCoeff还可以返回结果元素的位置信息
int i, j;
a.minCoeff(&i, &j);

4. Array类

• Array是个类模板，前三个参数必须指定，后三个参数可选。

Array<typename Scalar,
      int RowsAtCompileTime,
      int ColsAtCompileTime>
# 常见类定义
typedef Array<float, Dynamic, 1> ArrayXf
typedef Array<float, 3, 1> Array3f
typedef Array<double, Dynamic, Dynamic> ArrayXXd
typedef Array<double, 3, 3> Array33d

ArrayXf a = ArrayXf::Random(5);
a.abs();    # 绝对值
a.sqrt();    # 平方根
a.min(a.abs().sqrt());  # 两个array相应元素的最小值

• 当执行array*array时，执行的是相应元素的乘积，所以两个array必须具有相同的尺寸。
• Matrix对象——>Array对象：.array()函数
• Array对象——>Matrix对象：.matrix()函数

4. 块操作

块是matrix或array中的矩形子块。

// 方法1
.block(i, j, p, q)    //起点(i, j)，块大小(p, q)，构建一个动态尺寸的block
.block<p, q>(i, j)  // 构建一个固定尺寸的block

• matrix.row(i): 矩阵第i行
• matrix.col(j): 矩阵第j列
• 角相关操作

• Vector的块操作

5. 矩阵初始化

• 逗号初始化：为矩阵元素赋值，顺序是从左到右，从上到下，数目必须匹配。

// 初始化列表除数字外也可以是vectors或matrix
RowVectorXd vec1(3);
vec1 << 1,2,3;
RowVectorXd vec2(2);
vec2 << 4,5;
RowVectorXd vec3(5);
vec3 << vec1, vec2;
// 也可以使用block结构初始化 

• 特殊矩阵
  • 零阵：类静态成员函数Zero()
  • 常量矩阵：Constant(rows, cols, value)
  • 随机矩阵：Random()
  • 单位矩阵：Identity()
• LinSpaced(size, low, high)：构建从low到high等间距的size长度的序列，适用于vector和一维数组。
• 功能函数
  • `setZero()
  • setIdentity()

6. 归约，迭代器，广播

• 范数计算
  • squareNorm()：L2范数，等价于计算vector自身点积
  • norm()：返回`squareNorm的开方根
  • .lpNorm<p>()：p范数，p可以取Infinity，表无穷范数
• 布尔归约
  • all()=true: matrix或array中所有元素为true
  • any()=true: 到少有一个为true
  • count(): 返回true元素个数

// sample
ArrayXXf A(2, 2);
A << 1,2,3,4;
(A > 0).all();
(A > 0).any();
(A > 0).count();

• 迭代器，获取某元素位置

// sample
Eigen::MatrixXf m(2,2);
m << 1,2,3,4;
MatrixXf::Index maxRow, maxCol;
float max = m.maxCoeff(&minRow, &minCol);

• 部分归约，

// sample
Eigen::MatrixXf mat(2,3);
mat << 1,2,3,
       4,5,6;
std::cout << mat.colwise().maxCoeff();
// output: 4, 5, 6
// mat.rowWise() the same as before

• 广播，针对vector，沿行或列重复构建一个matrix。

// sample
Eigen::MatrixXf mat(2,3);
Eigen::VectorXf v(2);

mat << 1,2,3,4,5,6;
v << 0,1;
mat.colwise() += v;
// output: 1, 2, 3, 5, 6, 7

7. Map类

• Map类用于利用数据的内在，并将其转为Eigen类型。
• 定义：
  Map<Matrix<typename Scalar, int RowAtCompileTime, int ColsAtCompileTime> >
• 通过Map来reshape矩阵的形状。

8. 混淆问题

• 使用eval()函数解决把右值赋值为一个临时矩阵，再赋给左值时可能有造成的混淆。如：

MatrixXi mat(3,3);
mat << 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9;
mat.bottomRightCorner(2,2) = mat.topLeftCorner(2,2).eval();

• 原地操作的一类函数：

• 1. 当相同的矩阵或array出现在等式左右时，容易出现混淆
  2. 当确定不会出现混淆时，可以使用noalias()
  3. 混淆出现时，可以使用eval()和xxxInPlace()函数解决