RS纠删码原理

Erasure Code – EC纠删码原理

一、什么是Erasure Code
        Erasure Code（EC），即纠删码，是一种前向错误纠正技术（Forward Error Correction，FEC，说明见后附录），主要应用在网络传输中避免包的丢失， 存储系统利用它来提高 存储 可靠性。相比多副本复制而言， 纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性， 但编码方式较复杂，需要大量计算 。纠删码只能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此。

        EC的定义：Erasure Code是一种编码技术，它可以将n份原始数据，增加m份数据，并能通过n+m份中的任意n份数据，还原为原始数据。即如果有任意小于等于m份的数据失效，仍然能通过剩下的数据还原出来。

        目前，纠删码技术在分布式存储 系统中的应用主要有三类，阵列纠删码（Array Code: RAID5、RAID6等）、RS(Reed-Solomon)里德-所罗门类纠删码和LDPC(LowDensity Parity Check Code)低密度奇偶校验纠删码。

        LDPC码也可以提供很好的保障可靠性的冗余机制。与RS编码相比，LDPC编码效率要略低，但编码和解码性能要优于RS码以及其他的纠删码，主要得益于编解码采用的相对较少并且简单的异或操作。LDPC码目前主要用于通信、视频和音频编码等领域。

本文主要讲解RS类纠删码。

二、Reed-Solomon Code
        RS code是基于有限域的一种编码算法，有限域又称为Galois Field，是以法国著名数学家伽罗华（Galois）命名的，在RS code中使用GF(2^w)，其中2^w >= n + m。

        RS code的编解码定义如下：  

        编码：给定n个数据块（Data block）D1、D2……Dn，和一个正整数m，RS根据n个数据块生成m个编码块（Code block），C1、C2……Cm。
        解码：对于任意的n和m，从n个原始数据块和m个编码块中任取n块就能解码出原始数据，即RS最多容忍m个数据块或者编码块同时丢失。

        把输入数据视为向量D=(D1，D2，…, Dn）, 编码后数据视为向量（D1, D2,…, Dn, C1, C2,.., Cm)，RS编码可视为如下图所示矩阵运算。

       
        上图最左边是编码矩阵（或称为生成矩阵、分布矩阵，Distribution Matrix），编码矩阵需要满足任意n*n子矩阵可逆。
为方便数据存储，编码矩阵上部是单位阵（n行n列），下部是m行n列矩阵。下部矩阵可以选择范德蒙德矩阵或柯西矩阵。后文说明。

2、RS code编码数据恢复原理
RS最多能容忍m个数据块被删除。 数据恢复的过程如下：
（1）假设D1、D4、C2丢失，从编码矩阵中删掉丢失的数据块/编码块对应的行。        
           
        根据图1所示RS编码运算等式，可以得到如下B’ 以及等式。

（2）由于B’ 是可逆的，记B’的逆矩阵为 (B’^-1)，则B’ * (B’^-1) = I 单位矩阵。两边左乘B’ 逆矩阵。

（4）对D重新编码，可得到丢失的编码码

3、RS code编码的限制
1）数据恢复代价高和数据更新代价高，因此常常针对只读数据，或者冷数据。
2）RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表， 通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力， 具体实现上可能要做一些优化。

在线性代数中有一种矩阵称为范德蒙德矩阵，它的任意的子方阵均为可逆方阵。一个m行n列的范德蒙德矩阵定义如下，其中Ai 均不相同，且不为0。

         
令A1、A2…An分别为1、2、3…n，则得到范德蒙德矩阵为：

         
编码矩阵就是单位矩阵和范德蒙德矩阵的组合。输入数据（D）和编码矩阵的乘积就是编码后的数据。

          
算法复杂度：
        采用这种方法的算法复杂度还是比较高的，编码复杂度为O（mn），其中m为校验数据个数，n为输入数据个数。解码复杂度为O（n^3）。

2、基于柯西（ Cauchy）矩阵
        柯西矩阵的任意一个子方阵都是奇异矩阵，存在逆矩阵。而且柯西矩阵在迦罗华域上的求逆运算，可以在O（n^2）的运算复杂度内完成。

柯西矩阵的描述如下：

         
Xi 和Yi 都是迦罗华域GF（2^w）中的元素。

基于柯西矩阵的编码矩阵：

         
3、柯西编解码过程优化
        在范德蒙编码的时候，我们可以采用对数/反对数表的方法，将乘法运算转换成了加法运算，并且在迦罗华域中，加法运算转换成了XOR运算。

        柯西编解码为了降低乘法复杂度，采用了有限域上的元素都可以使用二进制矩阵表示的原理，将乘法运算转换成了迦罗华域“AND运算”和“XOR逻辑运算”，提高了编解码效率。

        从数学的角度来看，在迦罗华有限域中，任何一个GF（2^w）域上的元素都可以映射到GF（2）二进制域，并且采用一个二进制矩阵的方式表示GF（2^w）中的元素。

        例如，GF（2^3）域中的元素可以表示成GF（2）域中的二进制矩阵：

          
        上图中，黑色方块表示逻辑1，白色方块表示逻辑0。通过这种转换，GF（2^w）域中的阵列就可以转换成GF（2）域中的二进制阵列。生成矩阵的阵列转换表示如下：

          
算法复杂度：
        使用柯西矩阵要优于范德蒙德矩阵的方法，柯西矩阵的运算复杂度为O（n *（n – m）），解码复杂度为O（n^2）。

五、RS编码升级
    RS编码后的数据，如果丢失了一块，恢复丢失的数据需要最少读取n块数据。在生产环境中，硬盘故障经常发生，恢复数据对网络IO和CPU都会有较大的消耗。
    因此有些公司在EC编码的基础上做了一些改进，使用LRC或SEC替换RS编码。

1、LRC – Locally Repairable Code 本地副本存储
        LRC编码与RS编码方式基本相同，同时增加了额外的数据块副本。

2、SEC – Sparse Erasure Code 稀疏纠删码
        LRC编码中只对数据块做了2副本，当编码块丢失时，仍然需要读取n块数据来重新计算编码块。
SEC编码中对数据块和编码块都做增加了校验块。

    SEC同样通过增加存储块，减少了恢复数据是的网络和CPU开销。

        Forward  Error Correction，FEC- 前向纠错编码技术通过在传输码列中加入冗余纠错码，在一定条件下，通过解码可以自动纠正传输误码。这种编码的译码设备较复杂。

        除FEC之外，还有两种差错控制编码：Automatic repeat request（ARQ）检错重发（或自动请求重传），Hybrid  Error Correction（HEC）混合纠错。

        检错重发由发送端送出能够发现错误的码，接收端如果发现错误，通过反向信道把这一判决结果反馈给发送端。然后，发送端把接收端认为错误的信息再次重发。其特点是需要反馈信道，译码设备简单。

        混合纠错是 ARQ和 FEC方式的混合。发送端同时送出具有检错和纠错能力的码，如果接收端收到信码在纠错能力以内，则自动进行纠正。如果超出纠错能力，则经过反馈信道请求发送端重发。