数学建模 拟合(最小二乘拟合，多项式拟合，自定义函数拟合)

拟合就是想办法得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即
可。

matlab拟合工具箱

x=1:10; y=randn(size(x)); 

>> cftool 

设置几个参数，结果就有了，太简单啦

左上角文件下面那堆图标允许我们添加图例，网格，绘制残差图，等高线图，删除离群点等，非常棒的图形化功能，不用编代码也能很完美地实现多项式拟合

最下面的表格里，以及左边的results里还给出了一些拟合程度好坏的评价指标：

• SSE，误差平方和，The sum of squares due to error，即最小二乘
  $$SSE=\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$
  
  
• MSE， mean squared error， 均方误差，即误差的平方和的均值，就等于SSE除以n，n为数据点个数
• RMSE，Root mean squared error，均方根误差，也叫回归系统的拟合标准差，等于MSE开方
• R-square，Coefficient of determination，确定系数

SSR: Sum of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和
$$SSR=\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-\bar{y}{)}^2$$

SST: Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和
$$SST=\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2$$

$$SSR+SSE=SST$$
“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。

“确定系数”的正常取值范围为[0 1]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好

• Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination
  可以选择各种拟合方式
  

  
  
  
  

最小二乘拟合

曲线/函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要做的工作只是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数

理论推导

用最小二乘法求解线性回归的k,b

怎么评价拟合的精度

SSE是我们最容易想到的，每个拟合值和准确值的差值平方和，但是对于线性拟合，还可以引入SSR和SST

SSE当然是越小越好

SST是原值和均值的距离平方和，正比于数据方差，衡量的是原始数据的偏离程度

SSR是拟合值和原始数据均值的距离平方和，衡量拟合数据的偏离程度

所以SSR和SST当忽然是越接近越好

$R^2$是负数的例子来了

证明这里写的很清楚

通过上图左下角的一阶条件可以看出，最小二乘法拟合要求原始值和拟合值的差值（残差）总和必须为0。

更多结论

一个例子

clear;clc load data1 plot(x,y,'o') % 给x和y轴加上标签 xlabel('x的值') ylabel('y的值') n = size(x,1); k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) hold on % 继续在之前的图形上来画图形 grid on % 显示网格线 % % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y) % % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形 % x = 0: 0.1 :5 % 间隔设置的越小画出来的图形越准确 % y = k * x + b % k和b都是已知值 % plot(x,y,'-') f=@(x) k*x+b; fplot(f,[min(x)-1,max(x)+1]); legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast') % 匿名函数的基本用法。 % handle = @(arglist) anonymous_function % 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。 % arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。 % anonymous_function为匿名函数的表达式。 % 举个小例子 % % >> z=@(x,y) x^2+y^2; % % >> z(1,2) % % ans = 5 % fplot函数可用于画出匿名函数的图形。 % fplot(f,xinterval) 将在指定区间绘图。将区间指定为 [xmin xmax] 形式的二元素向量。 y_hat = k*x+b; % y的拟合值 SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和 SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和 SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和 SST-SSE-SSR % 非常小的数，接近0 R_2 = SSR / SST % 拟合优度 

另一个例子，薄膜渗透率题目，最小二乘拟合溶液浓度变化

具体题目见《matlab在数学建模中的应用》，卓金武

其中的微分方程求解过程：

clear all clc tdata=linspace(100,1000,10); % 时间，秒 cdata=1e-05.*[454 499 535 565 590 610 626 639 650 659];% 浓度测量值，mg/cm3转化为g/cm3，再去掉小数点 x0=[0.2 0.05 0.08]; % 随便设置最小化问题的三个参数的初始值 x=lsqcurvefit('curvefun',x0,tdata,cdata) % least square ，最小二乘曲线拟合 % 第一个参数是被优化的函数，x0是初始参数，后面是优化依靠的实际数据，返回一组参数使得数据点和函数计算值的误差平方和最小 f=curvefun(x,tdata); plot(tdata, cdata,'o',tdata,f,'r-') title('最小二乘拟合B部分的浓度随时间的变化曲线') 

% curvefun.m function f=curvefun(x,t); f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t); % x(1),x(2),x(3)分别是a,b,k 

多项式拟合

x=1:10; y=randn(size(x)); p=polyfit(x,y,7); % 7阶多项式，返回拟合多项式的降幂系数 x1=0:.1:10; y_hat=polyval(p,x1); plot(x1,y_hat,x,y,'r*') 

自定义函数拟合

很多专业领域的数据可能已经有比较受学界认可的函数形式，可以通过查阅文献获得，然后用那种函数形式去拟合，能获得更好的拟合优度

比如

syms t x=[0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15]; y=[1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -.12 .17 .28 .15 -.03 -.15 -.071 .059 .08 .032 -.015 -.02]; x=x';y=y'; % 自定义拟合函数 f=fittype('a * cos(k * t) * exp(w * t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'}); cfun=fit(x,y,f); % 数据必须以列向量形式给出 x1=0:.1:20; y1=cfun(x1); plot(x,y,'r*',x1,y1,'b-') 

多尝试几次，拟合很好的时候记录下函数的参数们，a, k, w，就是很好的拟合结果

cfun函数还给了每个参数的置信区间！！简直完美

警告: Start point not provided, choosing random start point. > In curvefit.attention.Warning/throw (line 30) In fit>iFit (line 299) In fit (line 108) In me_test (line 8) >> cfun cfun = General model: cfun(t) = a * cos(k * t) * exp(w * t) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.9987 (0.9836, 1.014) k = 1.001 (0.9958, 1.006) w = -0.2066 (-0.2131, -0.2002) 

clear all clc % 人口数据 T=1:30; % +1970=年份 P=[33815 33981 34004 34165 34212 34327 34344 34458 34498 34476 34483 34488 34513 34497 34511 34520 34507 34509 34521 34513 34515 34517 34519 34519 34521 34521 34523 34525 34525 34527];%人口 %plot(T,P)% 折线 plot(T,P,'r o')% 只画数据点 hold on % 线性化处理 for t=1:30 x(t)=exp(-t); y(t)=1/P(t); end c=zeros(30,1)+1; X=[c,x']; B=inv(X' * X) * X' * y' % 线性回归的回归系数，2行1列，B（1,1）是0次幂系数，B（2,1）是1次幂系数 for i=1:30 z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i) ; % 回归拟合值 s(i)=y(i)-sum(y)/30 ; % 离差，每个数据和平均值的距离 e(i)=z(i)-y(i); % 拟合误差 end SST=s*s' ; % 离差平方和 SSE=e*e' ; % 误差平方和 SSR=SST-SSE; % 预测数据和原始数据均值的平方和 F=28*SSR/SSE % F检验值 % 计算非线性回归模型的拟合值 for j=1:30 Y(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j)); end % 画出逻辑函数拟合曲线 plot(T,Y,'k ') title('Logistic模型拟合曲线') 

F检验值？？？

也可以用工具箱实现

% a + (b-a) * rand(1,5); 如： a= 0; b=10; x= a + (b-a) * rand(1,5); % 1*5的随机矩阵 e=normrnd(0,1,1,5) y=3*exp(0.5*x)-5+e; 

自定义函数的三维拟合

x=-10:10; y=-10:10; z=x.^2+y.^2; x_=-10:.1:10; y_=-10:.1:10; 

人口数据的不同拟合对比

可以看出很像线性函数，所以下面拟合出来的函数长得接近线性函数的的拟合优度都接近于1

保凹凸性（hermite ）拟合

三次样条插值拟合

一次多项式拟合

幂次拟合