维纳随机过程
一． 概念和理论知识分析
维纳过程是一类非常重要的随机过程，它是基于对粒子布朗运动的数学刻画。维纳过程经常被广泛地应用到经济学、管理学等其他应用学科之中[1]。其定义为[2]：
若独立增量过程W (t ) ，其增量的概率分布服从高斯分布，
(w 2-w 1) 2f w (w 2-w 1; t 1, t 2) -}2α(t 2-t 1) 0
(1) 正态过程W (t ) 的起始值和均值皆为0，W (0)=E [W (t ) ]=0
⎧αt , t ≥t (2)自相关函数为 R W (t 1, t 2) =E [W (t 1) W (t 2)]=αmin(t 1, t 2) =⎨112
⎩αt 2, t 1
(3) X(t)关于t 是连续函数。
它具有如下特点[3]：
(1)它是一个Markov 过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。
(2)维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。
(3)它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。
二． 维纳过程matlab 模型
下面来看一个简单的维纳过程用matlab 实现
randn(‘state’,100) % 产生随机态
T = 1; N = 500; dt = T/N;
dW = zeros(1,N); % 存放位置
W = zeros(1,N); % 为了加快运算速度
dW(1) = sqrt(dt)*randn; % 循环前的初始化
W(1) = dW(1); % W(0) = 0 不允许，所以首先置值
for j = 2:N
dW(j) = sqrt(dt)*randn; % 产生序列
W(j) = W(j-1) + dW(j);
end
plot([0:dt:T],[0,W],’r-‘) % 画图
xlabel(‘t’,’FontSize’,16)
ylabel(‘W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
W(t)
t
图1 维纳随机过程
三． 实际应用案例
在实际的生活中，人们要接触很多图像，而在景物成像过程中可能会出现模糊、失真或混入噪声导致图像质量下降，这种现象称为图像“退化”。因此我们可以采取一些技术手段使图像恢复到本来面目，其中最典型的恢复算法就是维纳滤波[4~5]。
四． 仿真
close all;
clear;
RGB = imread(’13d68a0a15ed1cc5e362cf021e89735d.jpg’);
I=rgb2gray(RGB);%图像变灰处理
figure(1)
imshow(I);
title(‘original image’);%
J= imnoise(I,’gaussian’,0,0.005);%加入干扰
figure(2);
subplot(1,2,1);
imshow(J);
title(‘gaussian blurred image’)%干扰后图像
J0=wiener2(J,[10 10]);%维纳滤波
subplot(1,2,2);
imshow(J0);
title(‘image tracked with wiener fliter’)%滤波后图像
original image
图2 原图灰化
gaussian blurred imageimage tracked with wiener fliter
图3 滤波前后对比
五． 总结
维纳滤波是假设图像信号可以近似看成平稳随机过程且输入图像的统计特性是已知的前提下，按照使输入图像和恢复图像之间的均方误差达到最小的准则函数来实现图像恢复的方法。尽管大多数图像整体上并不是稳定的 , 但有许多图像可以被认为是局部平稳的[6]。
[1] 赵攀. 维纳过程在加权线性组合下的若干结果[D]. 安徽:安徽大学, 2006: 1-2
[2] 刘凯老师. 随机信号分析PPT 课件，第八章维纳过程
[3] 赵淑清, 郑薇. 随机信号分析[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2004(6)：
80-82.
[4] 陈友凎. 基于MATLAB 的维纳滤波器仿真研究. 中国科技网
[5] 孙屹.MATLAB 通信仿真开发手册[M].国防工业出版社,2005(1)
[6] 张德丰, 张葡青. 维纳滤波图像恢复的理论分析与实现[J]. 中山大学学报,
2006, 45(6): 46-47
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