DFS应用——寻找欧拉回路

【0】README

0.1） 本文总结于数据结构与算法分析，源代码均为原创，旨在理解 “DFS应用——寻找欧拉回路” 的idea 并用源代码加以实现 （源代码，我还没有找到一种有效的数据结构和DFS进行结合，往后会po出）；

【1】欧拉回路

1.1）欧拉回路定义：我们必须在图中找出一条路径，使得该路径对图的每条边恰好访问一次。如果我们要解决“附加的问题”，那么我们就必须找到一个圈，该圈恰好经过每条边一次，这种图论问题在1736年由欧拉解决，它标志着图论的诞生；根据特定问题的叙述的不同， 这种问题通常称为欧拉路径（Euler path，有时称为欧拉环游——Euler tour）或欧拉回路（Euler circuit）；
1.2）我们的第一个观察是，其终点必须终止在起点上的欧拉回路只有当图是连通的并且每个顶点的度（即边的条数）是偶数时才有可能存在。 这是因为，在欧拉回路中，一个顶点有边进入，必然有边离开。如果任一顶点v 的度为奇数，那么实际上我们早晚将会达到这样一种地步，即只有一条进入v 的边尚未被访问到，若沿该变进入v点，那么我们只能停在顶点v，不可能再出来。
1.3）如何得到欧拉环游：如果恰好有两个顶点的度是奇数，那么当我们从一个奇数度的顶点出发最后终止在另一个奇数度的顶点时，仍然有可能得到一个欧拉环游；这里，欧拉环游是必须访问图的每一边但最后不一定必须回到起点的路径。如果奇数度的顶点多于两个，那么欧拉环游也是不可能存在的；
1.4）以上观察，给我们提供了欧拉回路存在的一个必要条件，实际上，它也是一个充分条件——也就是说，所有顶点的度均为偶数的任何连通图必然有欧拉回路；

【2】如何用线性时间检测这个充分必要条件——所有顶点的度均为偶数的任何连通图必然有欧拉回路

2.1）主要问题在于： 我们可能只访问了图的一部分而提前返回到起点。如果从起点出发的所有边均已用完，那么图中就会有部分遍历不到；
2.2）解决方法： 是找出有尚未访问的边的路径上的第一个顶点，并执行另外一次深度优先搜索；这将给出另外一个回路，吧它拼接到原来的回路上，继续该过程直到所有的边都被遍历为止；

【3】对于以上的问题和解决方法，我们看个荔枝：

step1）欧拉回路的初始图
这里写图片描述
step2）设从顶点5开始，遍历5、4、10、5，（这里只是欧拉回路的一种可能的路径case）

step3）我们从顶点4继续遍历，因为它还带有未遍历的边；我们把本次遍历的路径拼接到上一次遍历的路径5, 4, 10, 5中，进而得到新路径如下图所示：
这里写图片描述
step4）这时，路径上存有未被访问的边的下一个顶点是3，此时可能的遍历路径是3, 2, 8, 9, 6, 3；同理，拼接路径后，得到新路径如下图所示：

step5）这时，在本路径上，带有未被遍历边的下一个顶点是9，算法找到回路9, 12, 10, 9；同理，拼接路径后，得到新路径如下图所示：
这里写图片描述