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0. 补充知识
0.1 贝塔函数 B ( P , Q ) \Beta(P, Q) B(P,Q)
贝塔函数也称为欧拉第一积分，定义为：
B ( P , Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x ( P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta(P,Q) = \int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx \quad (P>0,Q>0) \end{aligned} B(P,Q)=∫01xP−1(1−x)Q−1dx(P>0,Q>0)
若将贝塔函数变为不定积分，则有不完全贝塔函数 B x ( P , Q ) \Beta_x(P,Q) Bx(P,Q)
B x ( P , Q ) = ∫ 0 x u P − 1 ( 1 − u ) Q − 1 d u ( 0 ≤ x ≤ 1 , P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta_x(P,Q) = \int_0^xu^{P-1}(1-u)^{Q-1}du \quad (0\le x \le 1,P>0,Q>0) \end{aligned} Bx(P,Q)=∫0xuP−1(1−u)Q−1du(0≤x≤1,P>0,Q>0)
0.2 伽马函数 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)
伽马函数也称为欧拉第二积分，定义为：
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t ( x > 0 ) = 2 ∫ 0 + ∞ t 2 x − 1 e − t 2 d t \begin{aligned} \Gamma(x) &= \int_0^{+\infin}t^{x-1}e^{-t}dt \quad (x>0)\\ &= 2\int_0^{+\infin} t^{2x-1}e^{-t^2}dt \end{aligned} Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt(x>0)=2∫0+∞t2x−1e−t2dt
伽马函数的一些性质：
- Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)
- Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n-1)! Γ(n)=(n−1)!
- Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π
- 与 β \beta β函数的关系： B ( m , n ) = Γ ( m ) Γ ( n ) Γ ( m + n ) \Beta(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} B(m,n)=Γ(m+n)Γ(m)Γ(n)
1. 贝塔分布 (Beta Distribution)
贝塔分布，也称为 B \Beta B分布，定义在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)区间上，有两个参数 α , β > 0 \alpha,\beta \gt 0 α,β>0,随机变量服从贝塔分布一般写作 X ∼ Be ( α , β ) X\sim \text{Be}(\alpha,\beta) X∼Be(α,β)
1.1 概率密度函数PDF
f ( x ; α , β ) = x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 \begin{aligned} f(x;\alpha,\beta) &= \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du}\\ &= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\\ &=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{aligned} f(x;α,β)=∫01uα−1(1−u)β−1duxα−1(1−x)β−1=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1=B(α,β)1xα−1(1−x)β−1
1.2 累积分布函数CDF
F ( x ; α , β ) = B x ( α , β ) B ( α , β ) \begin{aligned} F(x;\alpha,\beta) = \frac{\Beta_x(\alpha,\beta)}{\Beta(\alpha,\beta)} \end{aligned} F(x;α,β)=B(α,β)Bx(α,β)
其中， B x ( α , β ) \Beta_x(\alpha,\beta) Bx(α,β)为不完全贝塔函数，定义为：
1.3 数字特征
- 期望： μ = E ( X ) = α α + β \mu=E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} μ=E(X)=α+βα
- 方差： V a r ( X ) = E ( ( X − μ ) 2 ) = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) Var(X)=E((X-\mu)^2)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} Var(X)=E((X−μ)2)=(α+β)2(α+β+1)αβ
2. 狄利克雷分布 (Dirichlet Distribution)
狄利克雷分布是贝塔分布的多元推广，对于 d d d维的狄利克雷分布，共有 d d d个参数。
狄利克雷分布是关于一组 d d d个连续变量 μ i ∈ [ 0 , 1 ] \mu_i\in[0,1] μi∈[0,1]的概率分布；或者说是一个 d d d维向量的概率分布，其中向量元素 μ i ∈ [ 0 , 1 ] \mu_i\in[0,1] μi∈[0,1]，且有 ∑ i = 1 d μ i = 1 \sum_{i=1}^d\mu_i=1 ∑i=1dμi=1。
2.1 概率密度函数PDF
- 记 μ = ( μ 1 ; μ 2 ; ⋯ ; μ d ) \boldsymbol{\mu} = (\mu_1;\mu_2;\cdots;\mu_d) μ=(μ1;μ2;⋯;μd)。
- 令参数 α = ( α 1 ; α 2 ; ⋯ ; α d ) \boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1;\alpha_2;\cdots;\alpha_d) α=(α1;α2;⋯;αd)， α ^ = ∑ i = 1 d α i \hat{\alpha} = \sum_{i=1}^d\alpha_i α^=∑i=1dαi，且有 α i > 0 \alpha_i > 0 αi>0
狄利克雷分布定义为：
p ( μ 1 , μ 2 , … , μ d ∣ α 1 , α 2 , … , α d ) = p ( μ ∣ α ) = Dir ( μ ∣ α ) = Γ ( α ^ ) Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) ⋯ Γ ( α d ) ∏ i = 1 d μ i α i − 1 = Γ ( α ^ ) ∏ i = 1 d Γ ( α i ) ∏ i = 1 d μ i α i − 1 \begin{aligned} p(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_d|\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_d) &= p(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha}) = \text{Dir}(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha})\\ &= \frac{\Gamma(\hat{\alpha})}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)\cdots\Gamma(\alpha_d)}\prod_{i=1}^d\mu_i^{\alpha_i-1}\\ &= \frac{\Gamma(\hat{\alpha})}{\prod_{i=1}^d\Gamma(\alpha_i)}\prod_{i=1}^d\mu_i^{\alpha_i-1} \end{aligned} p(μ1,μ2,…,μd∣α1,α2,…,αd)=p(μ∣α)=Dir(μ∣α)=Γ(α1)Γ(α2)⋯Γ(αd)Γ(α^)i=1∏dμiαi−1=∏i=1dΓ(αi)Γ(α^)i=1∏dμiαi−1
显然，当 d = 2 d=2 d=2时，狄利克雷分布退化为贝塔分布。
2.2 数字特征
- 期望： E [ μ i ] = α i α ^ \mathbb{E}[\mu_i] = \frac{\alpha_i}{\hat{\alpha}} E[μi]=α^αi
- 方差： V a r [ μ i ] = α i ( α ^ − α i ) α ^ ( α ^ + 1 ) Var[\mu_i] = \frac{\alpha_i(\hat{\alpha}-\alpha_i)}{\hat{\alpha}(\hat{\alpha}+1)} Var[μi]=α^(α^+1)αi(α^−αi)
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